2016-天津卷理-11 填-三视图

本题导读

本题考查三视图（几何体的还原）、棱锥的体积计算公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 $\underline{}$ ${\text{m}}^3$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别几何体：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥。正视图和侧视图均为三角形，俯视图为一个四边形。
2. 确定底面参数：观察俯视图，底面是一个平行四边形。结合正视图下方标注的长度 $1,1,1$，可以确定平行四边形在水平方向的总长度（底）为 $2$。侧视图显示底面的“宽”向高度（对应平行四边形的高）为 $1$。
3. 确定棱锥的高：正视图左侧标注的垂直高度 $3$ 即为该四棱锥的高。
4. 体积计算：利用棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$ 进行计算。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算底面积 $S$： 由俯视图可知底面为平行四边形。 根据正视图的投影关系，该平行四边形的底边长为 $1+1=2$。 根据侧视图的投影关系，该平行四边形底边上的高为 $1$。 则底面积 $S=\text{底}\times \text{高}=2\times 1=2{\text{m}}^2$。

2. 确定高 $h$： 由正视图可知，四棱锥的高 $h=3\text{m}$。

3. 计算体积 $V$： $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 2\times 3=2{\text{m}}^3$

最终答案为：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三视图还原规律：正、俯视图“长对正”，正、侧视图“高平齐”，俯、侧视图“宽相等”。在本题中，底面的长宽关系需要跨视图对比确定。
• 计算陷阱：平行四边形面积不要误套用三角形面积公式（除以2）；棱锥体积公式中的 $\frac{1}{3}$ 绝对不能漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若该四棱锥的顶点在底面的投影位于平行四边形的一个顶点上，其三视图会有何变化？
• 提示：正视图或侧视图中会出现一条直角边。
• 常用结论：三视图中，若两个视图是三角形，一个视图是多边形，则该几何体通常是棱锥。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$2$

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-全国卷II文-06 单-三视图
• 2017-全国卷II理-04 单-三视图

专题合集 (Series)