2016-江苏卷-21B 解-矩阵

本题导读

本题考查逆矩阵的定义与性质、二阶矩阵求逆公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right]$，矩阵 $B$ 的逆矩阵 $B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& 2\end{array}\right]$，求矩阵 $AB$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求矩阵 $B$：利用性质 $(B^{-1}{)}^{-1}=B$。对于二阶矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，若 $|M|=ad-bc\ne 0$，则 $M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$。
2. 执行矩阵乘法：将求得的 $B$ 与已知矩阵 $A$ 相乘。注意矩阵乘法不满足交换律，必须按照 $AB$ 的顺序计算。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算 $B$： 已知 $B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& 2\end{array}\right]$，其行列式 $|B^{-1}|=1\times 2-0\times (-\frac{1}{2})=2$。 所以 $B=(B^{-1}{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2& \frac{1}{2}\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$。

2. 计算 $AB$： $AB=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{cc}1\times 1+2\times 0& 1\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{2}\\ 0\times 1+(-2)\times 0& 0\times \frac{1}{4}+(-2)\times \frac{1}{2}\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{4}+1\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& \frac{5}{4}\\ 0& -1\end{array}\right]$。

故 $AB=\left[\begin{array}{cc}1& \frac{5}{4}\\ 0& -1\end{array}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 常用公式：二阶矩阵求逆口诀——“主对调，次换号，除以行列式”。
• 计算顺序：本题也可以先求 $A$ 的逆或利用其他性质，但直接求 $B$ 再乘 $A$ 是最稳妥的路径。
• 易错点：矩阵乘法中，结果矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是由前矩阵的第 $i$ 行与后矩阵的第 $j$ 列对应元素乘积之和构成的。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 性质探讨：若题目要求求 $(AB{)}^{-1}$，可以利用性质 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。
• 图形变换：在几何上，矩阵 $A$ 代表一种平面线性变换（如伸缩、旋转、投影等），矩阵乘法 $AB$ 代表先进行 $B$ 变换再进行 $A$ 变换的复合变换。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• （待补）

类题演练 (Links)

• （待补）

专题合集 (Series)