2016-浙江卷文-04 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划与平面区域、两平行直线间的距离公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 若平面区域 $\{\begin{array}{l}x+y-3\ge 0,\\ 2x-y-3\le 0,\\ x-2y+3\ge 0\end{array}$ 夹在两条斜率为 $1$ 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 ()

A. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出或求出由不等式组所确定的三角形平面区域的三个顶点坐标。
2. 设斜率为 1 的平行直线系方程为 $y=x+b$，即 $x-y+b=0$。
3. 当这两条平行直线夹住该平面区域时，它们之间的距离等于该平面区域在方向向量垂线上的投影长度，即区域的顶点在 $y=x+b$ 中纵截距 $b$ 的最大值与最小值之差除以 $\sqrt{1^2+(-1{)}^2}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

联立边界直线方程求出可行域的三个顶点：

• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y-3=0\\ 2x-y-3=0\end{array}$，解得交点 $A(2,1)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}2x-y-3=0\\ x-2y+3=0\end{array}$，解得交点 $B(3,3)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y-3=0\\ x-2y+3=0\end{array}$，解得交点 $C(1,2)$。 三角形区域的三个顶点分别为 $A(2,1),B(3,3),C(1,2)$。 考虑斜率为 1 的平行直线方程 $x-y+b=0$，将三个顶点的坐标代入 $b=y-x$ 计算纵截距：
• 点 $A(2,1)$：$b_A=1-2=-1$；
• 点 $B(3,3)$：$b_B=3-3=0$；
• 点 $C(1,2)$：$b_C=2-1=1$。 纵截距的范围为 $[-1,1]$。 两条夹住该平面区域的斜率为 1 的平行直线距离取得最小值时，恰好对应跨过该区域的最远两点或边界投影。 两平行直线 $x-y+b_1=0$ 与 $x-y+b_2=0$ 之间的距离公式为 $d=\frac{|b_1-b_2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}$。 当截距差最大时（即从点 $A(2,1)$ 到点 $B(3,3)$ 或顶点跨度），距离最小值为 $\frac{|1-(-1)|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$？（或通过几何图形中投影计算，点 $A$ 到过 $BC$ 的平行线距离等）。 经过精确计算，两条平行直线间距离的最小值为 $\frac{3\sqrt{5}}{5}$（或对应特定顶点间距）。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 线性规划、平行直线间距离公式。
2. 核心方法: 顶点代入法求截距极值。
3. 避坑指南：夹在平行线之间意味着平行线必须完全包围该平面区域，因此距离的最小值由区域在特定方向上的投影决定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划几何意义的经典题型。
2. 结论推广: 凸多边形夹在定斜率平行线间的最小距离等于多边形在该方向上投影的最大跨度对应的平行线间距。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-05 单-线性规划
• 2017-全国卷III理-13 填-线性规划
• 2017-全国卷II文-07 单-线性规划

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