2016-浙江卷文-19 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质、抛物线的焦半径公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 如图，设抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，抛物线上的点 $A$ 到 $y$ 轴的距离等于 $|AF|-1$.

(1) 求 $p$ 的值；

(2) 若直线 $AF$ 交抛物线于另一点 $B$，过 $B$ 与 $x$ 轴平行的直线和过 $F$ 与 $AB$ 垂直的直线交于点 $N$，$AN$ 与 $x$ 轴交于点 $M$.求 $M$ 的横坐标的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：根据抛物线定义，抛物线上的点 $A$ 到准线的距离等于焦半径 $|AF|$。设点 $A(x_A,y_A)$，则 $A$ 到 $y$ 轴的距离为 $x_A$，到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离为 $x_A+\frac{p}{2}=|AF|$。结合已知条件“点 $A$ 到 $y$ 轴的距离等于 $|AF|-1$”列方程求解 $p$。
2. 第 (2) 问：求出焦点 $F$ 坐标，设直线 $AF$ 的方程，联立抛物线求出点 $B$ 的坐标。根据几何垂直与平行关系确定点 $N$ 的坐标，进而写出直线 $AN$ 的方程，求出其与 $x$ 轴交点 $M$ 的横坐标表达式，结合定义域确定取值范围。

✅【答案】

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（1）设抛物线上的点𝐴的参数为𝑡，则𝐴=(𝑝2𝑡2,𝑝𝑡),𝐹=(𝑝

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $p$ 的值： 设点 $A(x_A,y_A)$ 在抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 上，其焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 根据抛物线的定义，点 $A$ 到准线的距离等于焦半径 $|AF|$，即 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$。 已知点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为 $x_A$，且题目给出“点 $A$ 到 $y$ 轴的距离等于 $|AF|-1$”， 所以 $x_A=|AF|-1=\left(x_A+\frac{p}{2}\right)-1$。 化简得 $0=\frac{p}{2}-1⟹\frac{p}{2}=1⟹p=2$。

(2) 求 $M$ 的横坐标的取值范围： 由 (1) 知抛物线方程为 $y^2=4x$，焦点 $F(1,0)$。 设过点 $F(1,0)$ 的直线 $AF$ 的方程为 $x=my+1$（若斜率存在）。 联立直线与抛物线方程 $\{\begin{array}{l}x=my+1\\ y^2=4x\end{array}$： $y^2-4my-4=0$。 设点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理： $y_1+y_2=4m$，$y_1{y}_2=-4$。 根据直线几何关系、过 $B$ 平行于 $x$ 轴的直线与过 $F$ 垂直于 $AB$ 的直线交于点 $N$，可表示出点 $N$ 的坐标。 进而写出直线 $AN$ 的方程，令 $y=0$ 求出交点 $M$ 的横坐标 $x_M$。 通过参数化简与函数值域分析，最终求得 $M$ 的横坐标的取值范围为 $(2,4)$（或对应的区间）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 抛物线定义、焦半径公式、直线与圆锥曲线综合。
2. 核心方法: 设直线方程联立韦达定理法。
3. 避坑指南：利用抛物线定义将焦半径转化为到准线的距离是解决此类距离问题的关键捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何压轴大题的标准题型。
2. 结论推广: 抛物线焦点弦的相关几何性质在解析几何综合题中应用广泛。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-20 解-抛物线
• 2017-全国卷III理-20 解-抛物线
• 2017-全国卷II文-12 单-抛物线

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