2016-浙江卷理-03 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划的应用、点在直线上的投影，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 在平面上，过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线所得的垂足称为点 $P$ 在直线 $l$ 上的投影.由区域 $\{\begin{array}{l}x-2\le 0\\ x+y\ge 0\\ x-3y+4\ge 0\end{array}$ 中的点在直线 $x+y-2=0$ 上的投影构成的线段记为 $AB$，则 $|AB|=$ ()

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $3\sqrt{2}$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：画出由三个不等式确定的三角形区域。
2. 理解投影含义：区域内所有点向直线 $l:x+y-2=0$ 投影，形成的线段 $AB$ 的长度取决于区域中离该直线“最远”的两个投影点。
3. 发现特殊关系：观察发现目标直线 $x+y-2=0$ 的斜率为 $-1$。而不等式组中的直线 $x+y=0$ 的斜率也为 $-1$。
4. 几何转化：由于区域的一条边界线 $x+y=0$ 与投影直线平行，区域内所有点在直线 $x+y-2=0$ 上的投影长度，等价于这条边界线段本身的长度。
5. 计算长度：求出边界线 $x+y=0$ 与另外两条直线 $x-2=0$ 及 $x-3y+4=0$ 的交点 $Q,R$，计算 $|QR|$ 即为所求。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定区域顶点： 可行域是由以下三条直线围成的三角形区域：

• $l_1:x-2=0$
• $l_2:x+y=0$
• $l_3:x-3y+4=0$

求交点：

• 由 $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-3y+4=0\end{array}$ 得交点 $Q(-1,1)$。

• 由 $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-2=0\end{array}$ 得交点 $R(2,-2)$。

• 由 $\{\begin{array}{l}x-2=0\\ x-3y+4=0\end{array}$ 得交点 $S(2,2)$。

2. 分析投影长度： 投影目标直线为 $L:x+y-2=0$。 注意到直线 $l_2:x+y=0$ 与 $L$ 平行。 根据投影性质，当区域的一条边平行于投影直线时，整个区域在该直线上的投影线段长度就等于该边的长度。 因此，$|AB|=|QR|$。

3. 计算距离： 利用两点间距离公式计算 $Q(-1,1)$ 与 $R(2,-2)$ 的距离： $|QR|=\sqrt{(-1-2{)}^2+(1-(-2){)}^2}$ $|QR|=\sqrt{(-3{)}^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数形结合的重要性：本题若强行计算每个顶点到直线的垂足坐标再求距离，过程极其繁琐。通过作图发现“平行”关系是快速破题的核心。

• 投影的极值性：区域的投影通常由区域的顶点决定。在没有平行关系的情况下，应计算各顶点到直线的投影点，取距离最大的两个投影点。

• 直线位置关系识别：在解析几何中，看到系数比例相同的直线方程（如 $x+y$），应立即联想到平行。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若投影直线变为 $x-y=0$，此时该如何求解？
  • 提示：此时投影直线与区域边界不再平行，需要分别计算三个顶点 $Q,R,S$ 在直线 $x-y=0$ 上的投影坐标，再求距离。
• 常用技巧：点 $P(x_0,y_0)$ 在直线 $Ax+By+C=0$ 上的投影点坐标可通过垂直斜率及点在直线上建立方程组求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-05 单-线性规划
• 2017-全国卷III理-13 填-线性规划
• 2017-全国卷II文-07 单-线性规划

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