2016-浙江卷理-04 单-命题

本题导读

本题考查全称量词与存在量词、命题的否定（含多个量词），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 命题“$\forall x\in \mathbb{R},\exists n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 使得 $n\ge x^2$”的否定形式是 ()

A. $\forall x\in \mathbb{R},\exists n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 使得 $n<x^2$　　　　　B. $\forall x\in \mathbb{R},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 使得 $n<x^2$

C. $\exists x\in \mathbb{R},\exists n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 使得 $n<x^2$　　　　　D. $\exists x\in \mathbb{R},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 使得 $n<x^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别量词结构：原命题包含两个量词，分别是全称量词 $\forall$（任意）和存在量词 $\exists$（存在）。
2. 应用否定规则：

• 将第一个量词 $\forall x\in \mathbb{R}$ 变为 $\exists x\in \mathbb{R}$；
• 将第二个量词 $\exists n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 变为 $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$；
• 对结论部分 $n\ge x^2$ 进行否定，变为 $n<x^2$。

3. 组合结果：对比选项，选出符号变换完全正确的一项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 分步转化：

• 原命题：$\forall x\in \mathbb{R},\exists n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge x^2$。

• 第一步（否定第一个量词）：$\exists x\in \mathbb{R},\dots$

• 第二步（否定第二个量词）：$\exists x\in \mathbb{R},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\dots$

• 第三步（否定结论）：$\exists x\in \mathbb{R},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n<x^2$。

2. 对照选项：

• A 选项：只否定了结论，未否定量词；
• B 选项：只否定了第二个量词和结论；
• C 选项：只否定了第一个量词和结论；
• D 选项：完整否定了所有量词和结论。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 量词否定的口诀：“改量词，否结论”。
• 常见误区：很多学生只记得否定第一个量词（全称变特称），而忽略了后续的量词也需要同步变换。在本题这种双量词命题中，每一个量词都要改变性质。
• 符号对应关系：
  • $\forall ⟷\exists$
  • $\ge ⟷<$
  • $\le ⟷>$
  • $=⟷\ne$

📖【试题探源与推广】

Tip

• 理论背景：本题涉及的命题本质上是阿基米德性质的一种表述（对于任何实数，都存在一个比它大的正整数）。其否定的数学意义是：存在某个实数，使得所有的正整数都比它的平方小。
• 变式思考：若原命题为“$\exists x\in \mathbb{R}$, 使得 $f(x)>0$ 或 $g(x)\le 0$”，其否定是什么？
  • 提示：注意逻辑联结词“或”在否定时要变为“且”。结果为：$\forall x\in \mathbb{R},f(x)\le 0$ 且 $g(x)>0$。

🔗【关联脉络】

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D

类题演练 (Links)

• 2007-新课标卷文-02 单-全称量词命题的否定

专题合集 (Series)