2016-浙江卷理-13 填-等比数列

本题导读

本题考查数列的递推公式、数列通项 $a_n$ 与前 $n$ 项和 $S_n$ 的关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_2=4$，$a_{n+1}=2S_n+1,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，则 $a_1=$ $\underline{}$，$S_5=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求首项 $a_1$：利用 $n=1$ 时 $a_2=2S_1+1$，结合 $S_1=a_1$ 和 $S_2=a_1+a_2=4$ 列出方程组求解。
2. 求 $S_n$ 的递推关系：利用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，代入原递推式 $a_{n+1}=2S_n+1$，得到 $S_{n+1}$ 与 $S_n$ 的关系。
3. 计算 $S_5$：由于项数较少，可以直接根据 $S_n$ 的递推公式逐项累推至 $S_5$。

✅【答案】

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1；121

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $a_1$： 当 $n=1$ 时，由递推式得 $a_2=2S_1+1$。 因为 $S_1=a_1$，所以 $a_2=2a_1+1$。 又已知 $S_2=a_1+a_2=4$，代入上式得： $a_1+(2a_1+1)=4$ $3a_1=3⟹a_1=1$

2. 求 $S_n$ 的递推公式： 因为 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，代入 $a_{n+1}=2S_n+1$ 得： $S_{n+1}-S_n=2S_n+1$ 整理得：$S_{n+1}=3S_n+1$

3. 逐项递推求 $S_5$： 已知 $S_2=4$：

• $S_3=3S_2+1=3\times 4+1=13$
• $S_4=3S_3+1=3\times 13+1=40$
• $S_5=3S_4+1=3\times 40+1=121$

故答案为 1；121

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• $a_n$ 与 $S_n$ 的互化：这是数列题目中最基础的变换。通常题目给 $a_n$ 求 $S_n$ 较多，而本题给 $a_{n+1}$ 关于 $S_n$ 的关系，转化为 $S_n$ 的递推式更利于求和。
• 计算策略：对于求 $S_5$ 这种下标较小的项，直接递推比求出 $S_n$ 的通项公式（$S_n=\frac{3^{n-1}\times 9-1}{2}$）更不容易出错且速度更快。
• 易错点：注意 $a_{n+1}$ 的下标，不要错误地将其关联到 $S_n-S_{n-1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 通项构造：若需进一步求 $S_n$ 通项，可将 $S_{n+1}=3S_n+1$ 变形为 $S_{n+1}+\frac{1}{2}=3(S_n+\frac{1}{2})$。 由此可见 $\{S_n+\frac{1}{2}\}$ 是首项为 $1.5$，公比为 $3$ 的等比数列。
• 变式思考：若题目要求求 $a_{10}$，建议先求出 $S_n$ 通项，再利用 $a_{10}=S_{10}-S_9$ 或 $a_{10}=2S_9+1$ 计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2017-全国卷II理-03 单-等比数列
• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列

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