2017-上海卷-14 单-数列的极限

本题导读

本题考查数列的极限，以及等比数列的极限性质。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=$ ()

A. 等于 $-\frac{1}{2}$　　　　B. 等于 0　　　　C. 等于 $\frac{1}{2}$　　　　D. 不存在

🔍【思路分析】

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1. 识别数列类型：该数列是一个以 $a_1=-\frac{1}{2}$ 为首项，以 $q=-\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。
2. 回顾极限结论：对于等比数列 $a_n=a_1{q}^{n-1}$（或类似形式 $q^n$）：

• 当 $|q|<1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$；
• 当 $q=1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=1$；
• 当 $q\le -1$ 或 $q>1$ 时，极限不存在。

3. 判断公比范围：这里 $q=-\frac{1}{2}$，其绝对值 $|q|=\frac{1}{2}<1$。
4. 得出结论：随着 $n$ 的增大，分母 $2^n$ 趋于无穷大，而分子始终在 $1$ 和 $-1$ 之间跳动，整体无限接近于 0。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 因为数列的通项公式为 $a_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$， 由于公比 $q=-\frac{1}{2}$ 满足 $|q|<1$， 根据等比数列极限的性质：当 $|q|<1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$。 所以 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=0$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心判定：数列极限是否存在且为 0，关键看变量部分是否为“无穷小量”。
• 易错点：
• 误选 D：认为正负交替跳动就没有极限。实际上，只要振幅无限趋近于 0，极限就是 0。
• 误选 A 或 C：混淆了极限值与数列的首项或公比。
• 在上海卷中，极限是常见考点。牢记 $|q|<1\Rightarrow \lim =0$ 是处理此类问题的万能钥匙。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目要求无穷等比数列的前 $n$ 项和的极限（即无穷等比系列求和公式），结果是多少？（提示：$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{-1/2}{1-(-1/2)}=-\frac{1}{3}$）。
2. 知识关联：函数极限与数列极限的逻辑一致。若考虑函数 $f(x)={\left(-\frac{1}{2}\right)}^x$，由于底数为负，该函数在实数域通常不连续定义，但数列作为离散点集在极限意义下是明确的。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-14 填-数列的极限
• 1986-广东文-30 填-数列的极限
• 1987-全国文-12 填-数列的极限