2017-全国卷I文-11 单-正弦定理

本题导读

考查利用正弦定理进行边角互化以及三角函数恒等变换求解三角形内角。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=0$，$a=2$，$c=\sqrt{2}$，则 $C=$ ()

A. $\frac{\pi }{12}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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1. 利用三角形内角和定理，将 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ 代入已知条件中。
2. 展开并化简方程，得到角 $A$ 与 $C$ 的三角函数关系，求出 $\tan C$ 或 $\sin C,\cos C$。
3. 结合正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 进一步确定角 $C$ 的大小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $B=\pi -(A+C)$，所以 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$。 将其代入已知等式 $\sin B+\sin A\sin C-\sin A\cos C=0$ 中： $(\sin A\cos C+\cos A\sin C)+\sin A\sin C-\sin A\cos C=0$ $\cos A\sin C+\sin A\sin C=0$ $\sin C(\sin A+\cos A)=0$。 因为 $C$ 是三角形的内角，所以 $\sin C>0$，因此 $\sin A+\cos A=0$， 即 $\tan A=-1$。 因为 $A$ 是三角形内角，故 $A=\frac{3\pi }{4}$，这与 $a>c$（$2>\sqrt{2}$，即 $A>C$）相符（或重新审视：由 $\sin A+\cos A=0⟹\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)=0$，因 $A\in (0,\pi )$ 故 $A+\frac{\pi }{4}=\pi ⟹A=\frac{3\pi }{4}$ 不可能，或者 $\tan A=-1⟹A=\frac{3\pi }{4}$，但三角形中一角不能大于 $135^{\circ }$ 当另一边已知时？等一下，$\sin A=-\cos A⟹\tan A=-1$，若 $A$ 为钝角，则 $A=\frac{3\pi }{4}$，此时 $B+C=\frac{\pi }{4}$）。 根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$： $\frac{2}{\sin \frac{3\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin C}⟹\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin C}⟹\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin C}⟹2\sqrt{2}\sin C=\sqrt{2}⟹\sin C=\frac{1}{2}$。 因为 $c=\sqrt{2}<a=2$，所以 $C<A$，故 $C$ 为锐角，从而 $C=\frac{\pi }{6}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、诱导公式、两角和正弦公式。
2. 核心方法：整体代换与边角互化。
3. 避坑指南：解出 $\sin C=\frac{1}{2}$ 后，必须结合“大边对大角”验证 $C$ 的取值范围，舍去钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形恒等变换常规题。
2. 结论推广: 遇到 $\sin (A+C)$ 展开式时，常可消去部分项并转化为同角三角函数关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-07 单-正弦定理
• 2013-北京卷文-05 单-正弦定理
• 2013-北京卷理-15 解-正弦定理