2017-全国卷I文-16 填-球

本题导读

考查三棱锥内接于球、面面垂直的性质、三棱锥体积公式及球的表面积计算，属于立体几何综合填空题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 已知三棱锥 $S-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$SC$ 是球 $O$ 的直径，若平面 $SCA\perp$ 平面 $SCB$，$SA=AC$，$SB=BC$，三棱锥 $S-ABC$ 的体积为 9，则球 $O$ 的表面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设球 $O$ 的半径为 $R$，则直径 $SC=2R$。
2. 由 $SC$ 是直径，可得 $\angle SAC=90^{\circ }$ 且 $\angle SBC=90^{\circ }$（直径所对的圆周角为直角）。
3. 结合 $SA=AC$，$SB=BC$ 及平面 $SCA\perp$ 平面 $SCB$，利用体积公式列方程求出 $R$，进而求出球的表面积。

✅【答案】

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$36\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设球 $O$ 的半径为 $R$，则直径 $SC=2R$。 因为 $SC$ 是球 $O$ 的直径，所以 $\angle SAC=90^{\circ }$，$\angle SBC=90^{\circ }$。 又因为 $SA=AC$，所以在等腰直角三角形 $SAC$ 中，$SA=AC=\frac{\sqrt{2}}{2}SC=\sqrt{2}R$。 同理，在等腰直角三角形 $SBC$ 中，$SB=BC=\frac{\sqrt{2}}{2}SC=\sqrt{2}R$。 因为平面 $SCA\perp$ 平面 $SCB$，且交线为 $SC$， 过点 $A$ 作 $AD\perp SC$ 交 $SC$ 于点 $D$。因为平面 $SCA\perp$ 平面 $SCB$，所以 $AD\perp$ 平面 $SCB$。 因此 $AD$ 即为点 $A$ 到平面 $SBC$ 的距离。 在 $\text{Rt}△SAC$ 中，$AD=\frac{SA\cdot AC}{SC}=\frac{\sqrt{2}R\cdot \sqrt{2}R}{2R}=R$。 三棱锥 $S-ABC$ 的体积可转化为 $V=V_{A-SBC}+V_{B-SAC}$ 或利用棱锥体积公式： $V=\frac{1}{3}\cdot S_{△SBC}\cdot AD$。 其中 $\text{Rt}△SBC$ 的面积 $S_{△SBC}=\frac{1}{2}\cdot SB\cdot BC=\frac{1}{2}(\sqrt{2}R)(\sqrt{2}R)=R^2$。 所以三棱锥的体积为： $V=\frac{1}{3}\cdot R^2\cdot R=\frac{1}{3}{R}^3$。 已知三棱锥的体积为 9，即 $\frac{1}{3}{R}^3=9⟹R^3=27⟹R=3$。 球 $O$ 的表面积公式为 $S=4\pi R^2=4\pi (3{)}^2=36\pi$。 故答案为：$36\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的直径性质、面面垂直的性质、三棱锥体积。
2. 核心方法：等体积转化与几何体高线的确定。
3. 避坑指南：熟练运用直径所对圆周角为直角这一核心性质，准确求出三角形各边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何球与几何体体积综合高难填空题。
2. 结论推广: 若球的直径作为多面体的一条棱或高，通常能直接简化垂直关系与距离计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1958-北京-06 解-球面两点作大圆的个数