2017-全国卷I理-18 解-二面角

本题导读

本题考查面面垂直的判定定理。核心在于几何运算法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，且 $\angle BAP=\angle CDP=90^{\circ }$.

(1)证明：平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$；

(2)若 $PA=PD=AB=DC$，$\angle APD=90^{\circ }$，求二面角 $A-PB-C$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明面面垂直）：

• 要证平面 $\perp$ 平面，只需在一个平面内找一条线垂直于另一个平面。
• 已知 $AB\perp AP$ 且 $AB\parallel CD,CD\perp PD\Rightarrow AB\perp PD$。
• 因为 $AB$ 同时垂直于 $AP$ 和 $PD$，且这两条线交于 $P$，故 $AB\perp$ 平面 $PAD$。
• 由于 $AB\subset$ 平面 $PAB$，结论得证。

2. 第二问（求二面角）：

• 找原点建系：由于 $△APD$ 是等腰直角三角形，取 $AD$ 中点 $F$，则 $PF\perp AD$。由第一问可知 $AB\perp$ 平面 $PAD$，故 $AB\perp PF$，进而 $PF\perp$ 底面。
• 坐标化：以 $F$ 为原点建立空间直角坐标系。设 $PA=1$，通过几何关系确定各顶点坐标。
• 求法向量：分别计算平面 $PAB$ 和平面 $PBC$ 的法向量。
• 计算余弦值：利用公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}$，并根据二面角的开口方向判断正负号。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 二面角 $A-PB-C$ 的余弦值为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 由已知 $\angle BAP=\angle CDP=90^{\circ }$，得 $AB\perp AP$，$CD\perp PD$。 因为 $AB\parallel CD$，所以 $AB\perp PD$。 又 $AP\cap PD=P$，且 $AP,PD\subset$ 平面 $PAD$， 所以 $AB\perp$ 平面 $PAD$。 又因为 $AB\subset$ 平面 $PAB$， 故平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$。

(2)解： 在平面 $PAD$ 内作 $PF\perp AD$，垂足为 $F$。 由(1)可知 $AB\perp$ 平面 $PAD$，则 $AB\perp PF$。 因为 $AD\cap AB=A$，所以 $PF\perp$ 平面 $ABCD$。 设 $PA=PD=AB=DC=\sqrt{2}$。在等腰直角 $△APD$ 中，$AD=2$，$PF=1$，$AF=FD=1$。

以 $F$ 为坐标原点，$\overrightarrow{FA}$ 方向为 $x$ 轴，平行于 $AB$ 的方向为 $y$ 轴，$FP$ 方向为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $F-xyz$。 则各点坐标为： $A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,\sqrt{2},0),C(-1,\sqrt{2},0)$。 从而 $\overrightarrow{PA}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{AB}=(0,\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{PB}=(1,\sqrt{2},-1)$，$\overrightarrow{BC}=(-2,0,0)$。

• 求平面 $PAB$ 的法向量 $\vec{m}$： 设 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$，由 $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{PA}=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{AB}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1-z_1=0\\ \sqrt{2}{y}_1=0\end{array}$。 取 $\vec{m}=(1,0,1)$。
• 求平面 $PBC$ 的法向量 $\vec{n}$： 设 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$，由 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{PB}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_2+\sqrt{2}{y}_2-z_2=0\\ -2x_2=0\end{array}$。 取 $\vec{n}=(0,1,\sqrt{2})$。
• 计算夹角余弦值： $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 由图观察可知，二面角 $A-PB-C$ 为钝角。 故其余弦值为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 垂直转化：线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 面面垂直。这是立体几何大题第一问的标准三部曲。
• 建系选择：寻找“两两垂直”的交点是建系的关键。如果图中没有现成的，通常利用等腰三角形的中线构造垂直关系。
• 正负号判定：法向量的夹角余弦值不一定等于二面角的余弦值，必须结合图形观察是锐角还是钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 1958-北京-07 解-二面角内点到棱的距离
• 1958-湖南-08 解-二面角平分面的等距性