2017-全国卷II理-19 解-二面角

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定。核心在于空间向量法、几何证明法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$，$AB=BC=\frac{1}{2}AD$，$\angle BAD=\angle ABC=90^{\circ }$，$E$ 是 $PD$ 的中点.

(1)证明：直线 $CE\parallel$ 平面 $PAB$；

(2)点 $M$ 在棱 $PC$ 上，且直线 $BM$ 与底面 $ABCD$ 所成角为 $45^{\circ }$，求二面角 $M-AB-D$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（线面平行）：

• 观察几何关系：底面 $ABCD$ 是直角梯形，$BC\parallel AD$ 且 $BC=\frac{1}{2}AD$。
• 构造平行：取 $PA$ 的中点 $F$，连接 $EF,BF$。利用中位线证明 $EF\parallel AD$ 且 $EF=\frac{1}{2}AD$，从而得出 $EF\parallel BC$ 且 $EF=BC$，证明四边形 $BCEF$ 为平行四边形。
• 结论：得出 $CE\parallel BF$，由线面平行判定定理得证。

2. 第二问（二面角）：

• 建立坐标系：取 $AD$ 中点 $O$，连 $PO$。因 $PAD$ 为等边三角形且平面 $PAD\perp$ 底面，故 $PO\perp$ 底面。以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系。
• 确定点 M：设 $\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PC}$，根据 $BM$ 与底面所成角为 $45^{\circ }$，利用向量夹角公式 $\sin 45^{\circ }=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot {\vec{n}}_{\text{底}}|}{|\overrightarrow{BM}|}$ 求解 $\lambda$。
• 求法向量：分别求出平面 $MAB$ 和平面 $DAB$（即底面）的法向量。
• 计算余弦值：利用法向量夹角的余弦值公式，结合图形判断二面角的锐钝情况。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 取 $PA$ 的中点 $F$，连接 $EF,BF$。 在 $\Delta PAD$ 中，$E,F$ 分别为 $PD,PA$ 的中点， 所以 $EF\parallel AD$ 且 $EF=\frac{1}{2}AD$。 又在底面 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$ 且 $BC=\frac{1}{2}AD$， 所以 $EF\parallel BC$ 且 $EF=BC$。 故四边形 $BCEF$ 为平行四边形，从而 $CE\parallel BF$。 因为 $BF\subset$ 平面 $PAB$，$CE\not\subset$ 平面 $PAB$， 所以 $CE\parallel$ 平面 $PAB$。

(2)解：


由已知得 $BA\perp AD$，以 $A$ 为坐标原点，$\overrightarrow{AB}$ 的方向为 $x$ 轴正方向，$|\overrightarrow{AB}|$ 为单位长，建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 设 $AB=1$，则 $AD=2$，$BC=1$，等边 $\Delta PAD$ 的边长为 $2$，其高 $PO=\sqrt{3}$。 各点坐标为：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,1,\sqrt{3})$。 $\overrightarrow{PC}=(1,0,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{AD}=(0,2,0)$。 设 $M$ 为棱 $PC$ 上一点，$\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PC}=(\lambda ,0,-\sqrt{3}\lambda )$（$0\le \lambda \le 1$），则 $M(\lambda ,1,\sqrt{3}(1-\lambda ))$。 于是 $\overrightarrow{BM}=(\lambda -1,1,\sqrt{3}(1-\lambda ))$。 平面 $ABCD$（底面）的法向量为 ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$。 由 $BM$ 与底面 $ABCD$ 所成角为 $45^{\circ }$，得： $\sin 45^{\circ }=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot {\vec{n}}_1|}{|\overrightarrow{BM}|}=\frac{\sqrt{3}(1-\lambda )}{\sqrt{(\lambda -1{)}^2+1+3(1-\lambda {)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 平方得 $6(1-\lambda {)}^2=(\lambda -1{)}^2+1+3(1-\lambda {)}^2$，即 $2(1-\lambda {)}^2=1$，解得 $\lambda =1-\frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去）。 故 $M\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$，$\overrightarrow{AM}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$。 设平面 $ABM$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 得 $x=0$；由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ 得 $y+\frac{\sqrt{6}}{2}z=0$，取 $z=-2$，则 $y=\sqrt{6}$，$\vec{n}=(0,\sqrt{6},-2)$。 底面 $DAB$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$。 于是 $\cos ⟨\vec{n},{\vec{n}}_1⟩=\frac{|\vec{n}\cdot {\vec{n}}_1|}{|\vec{n}||{\vec{n}}_1|}=\frac{2}{\sqrt{6+4}\times 1}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。 由图形可知二面角 $M-AB-D$ 为锐角，故其余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辅助线的选择：第一问中取中点构造平行四边形是解决空间平行最常用的几何手段。
• 建系的基准：直棱柱或面面垂直的交线中点是建立空间坐标系的理想原点。
• 法向量方向：求二面角时，最后要观察图形确认是锐角还是钝角，若法向量一进一出，则夹角即为二面角；若同进同出，则互补。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 1958-北京-07 解-二面角内点到棱的距离
• 1958-湖南-08 解-二面角平分面的等距性