2017-全国卷III文-10 单-线线垂直

本题导读

本题考查正方体中空间直线垂直关系的判断，以及空间向量法。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 为棱 $CD$ 的中点，则 ()

A. $A_{1}E\perp D{C}_1$　　　　B. $A_{1}E\perp BD$　　　　C. $A_{1}E\perp B{C}_1$　　　　D. $A_{1}E\perp AC$

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 $2$，写出 $A_1$、$E$ 及选项中各直线方向向量。
2. 用向量数量积为零判断垂直。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 $2$，以 $D$ 为原点建系，令 $D(0,0,0)$、$A(2,0,0)$、$C(0,2,0)$、$D_1(0,0,2)$、$A_1(2,0,2)$、$B(2,2,0)$、$C_1(0,2,2)$。 $E$ 为棱 $CD$ 中点，故 $E(0,1,0)$。 $\overrightarrow{A_{1}E}=(0,1,0)-(2,0,2)=(-2,1,-2)$。 逐个检验：

• $\overrightarrow{D{C}_1}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{A_{1}E}\cdot \overrightarrow{D{C}_1}=2-4=-2\ne 0$；
• $\overrightarrow{BD}=(0,0,0)-(2,2,0)=(-2,-2,0)$，$\overrightarrow{A_{1}E}\cdot \overrightarrow{BD}=4-2=2\ne 0$；
• $\overrightarrow{B{C}_1}=(0,2,2)-(2,2,0)=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{A_{1}E}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}=4-4=0$；
• $\overrightarrow{AC}=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{A_{1}E}\cdot \overrightarrow{AC}=4+2=6\ne 0$。 故 $A_{1}E\perp B{C}_1$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直线垂直、向量数量积。
2. 核心方法：建系法。
3. 避坑指南：判断空间直线垂直最稳妥的方法是坐标化后算数量积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何空间位置关系题。
2. 结论推广：正方体中的垂直关系常利用向量数量积为零快速判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-19 解-线线垂直
• 2018-天津卷文-17 解-线线垂直
• 1988-广东文-32 解-四棱锥的体积与线线垂直