2017-全国卷III文-17 解-错位相减

本题导读

本题考查数列递推关系求通项公式。核心在于利用作差法消去前项和式，再对所得新数列求前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+3a_2+\cdots +(2n-1)a_n=2n$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求数列 $\left\{\frac{a_n}{2n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：令 $S_n=a_1+3a_2+\cdots +(2n-1)a_n=2n$，用 $S_n-S_{n-1}$ 求出 $(2n-1)a_n$，进而求 $a_n$。
2. 第(2)问：把 $a_n$ 代入 $\frac{a_n}{2n+1}$ 得等比数列，用公式求和。

✅【答案】

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(1) $a_n=\frac{2}{2n-1}$

(2) $\frac{2n}{2n+1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 令 $S_n=a_1+3a_2+\cdots +(2n-1)a_n=2n$。 当 $n\ge 2$ 时，$S_{n-1}=2(n-1)$。 两式相减得 $(2n-1)a_n=2n-2(n-1)=2$，故 $a_n=\frac{2}{2n-1}$。 当 $n=1$ 时，$a_1=2$，也满足上式。 所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\frac{2}{2n-1}$。

(2) $\frac{a_n}{2n+1}=\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$。 因为 $\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$， 所以前 $n$ 项和为 $T_n=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$。 故数列 $\left\{\frac{a_n}{2n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{2n}{2n+1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列递推求通项、裂项相消求和。
2. 核心方法：作差法、裂项相消法。
3. 避坑指南：第(2)问是裂项相消，不是错位相减，注意 $\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$ 的裂项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列通项与求和常规解答题。
2. 结论推广：形如 $\frac{1}{(an+b)(an+c)}$ 的分式常用裂项相消求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-18 解-错位相减
• 2025-新高考I卷-16 解-错位相减
• 2003-北京文-16 解-等差通项与错位相减