2017-北京卷文-16 解-三角恒等变换

本题导读

考查三角函数恒等变形、最小正周期求法及闭区间上三角函数不等式的证明。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-2\sin x\cos x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求证：当 $x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 时，$f(x)\ge -\frac{1}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用二倍角公式将 $2\sin x\cos x$ 化为 $\sin 2x$，利用余弦两角差展开公式或辅助角公式将前半部分化简，将 $f(x)$ 化为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的单一三角函数形式。
2. 根据化简后的表达式求出最小正周期。
3. 利用闭区间上的自变量范围，求出对应三角函数值的取值范围，进而证明不等式。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $f(x)=\sqrt{3}\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-2\sin x\cos x$， 根据二倍角公式，$2\sin x\cos x=\sin 2x$。 展开 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}+\sin 2x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$， 代入原式得： $f(x)=\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)-\sin 2x$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}\sin 2x-\sin 2x$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x$ $=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$。 因此，$f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

(2) 证明： 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 时， $2x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$， 从而 $2x+\frac{\pi }{3}\in \left[-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right]=\left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$。 在此区间内，当 $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}$ 时， $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 取得最小值 $-\frac{1}{2}$； 当 $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ 时，取得最大值 $1$。 所以，$f(x)\in \left[-\frac{1}{2},1\right]$。 因此，当 $x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 时， $f(x)\ge -\frac{1}{2}$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数化简、周期及值域证明。
2. 核心方法：公式化归与整体换元法。
3. 避坑指南：在求整体角范围时，注意区间端点的准确代入与对应正弦函数在闭区间上的最小值位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数化简与性质证明的压轴基础题。
2. 结论推广: 形如 $a\sin \omega x+b\cos \omega x$ 的函数均可化为 $R\sin (\omega x+\phi )$ 形式研究周期与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-16 单-三角恒等变换
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换
• 2013-湖南卷文-16 解-三角恒等变换