2017-北京卷文-18 解-线线垂直

本题导读

考查立体几何中的线面垂直、面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，重点考查空间想象能力与逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp AB$，$PA\perp BC$，$AB\perp BC$，$PA=AB=BC=2$，$D$ 为线段 $AC$ 的中点，$E$ 为线段 $PC$ 上一点.

(1) 求证：$PA\perp BD$；

(2) 求证：平面 $BDE\perp$ 平面 $PAC$；

(3) 当 $PA\parallel$ 平面 $BDE$ 时，求三棱锥 $E-BCD$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用线面垂直的判定定理。先证 $BC\perp$ 平面 $PAB$，从而得到 $BC\perp PA$；结合 $PA\perp AB$，可证 $PA\perp$ 平面 $ABC$，进而得到 $PA\perp BD$（注意 $D$ 是等腰直角三角形斜边中点，底边中线即高）。
2. 第(2)问：证明线面垂直再证面面垂直。由第(1)问知 $PA\perp$ 平面 $ABC$，而 $BD\subset$ 平面 $ABC$，故 $PA\perp BD$；又 $△ABC$ 是等腰直角三角形，$D$ 为斜边中点，所以 $BD\perp AC$。从而 $BD\perp$ 平面 $PAC$，进而证得平面 $BDE\perp$ 平面 $PAC$。
3. 第(3)问：利用线面平行的性质定理确定 $E$ 的位置（$E$ 为 $PC$ 中点），然后转化顶点求三棱锥 $E-BCD$ 的体积。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

(3) $V_{E-BCD}=\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $PA\perp AB$，$PA\perp BC$，且 $AB\cap BC=B$， 所以 $PA\perp$ 平面 $ABC$。 因为 $BD\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $PA\perp BD$。

(2) 证明： 在 $△ABC$ 中，$AB=BC=2$，$AB\perp BC$， 所以 $△ABC$ 是等腰直角三角形。 因为 $D$ 为斜边 $AC$ 的中点， 所以 $BD\perp AC$。 由(1)知 $PA\perp$ 平面 $ABC$，且 $BD\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $PA\perp BD$。 又因为 $PA\cap AC=A$， 所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$。 因为 $BD\subset$ 平面 $BDE$， 所以平面 $BDE\perp$ 平面 $PAC$。

(3) 解： 因为 $PA\parallel$ 平面 $BDE$，且 $PA\subset$ 平面 $PAC$，平面 $BDE\cap 平面PAC=DE$， 所以 $PA\parallel DE$。 又因为 $D$ 为 $AC$ 的中点， 所以 $E$ 为线段 $PC$ 的中点。 因此，点 $E$ 到平面 $BCD$ 的距离是点 $P$ 到平面 $ABC$ 距离的一半。 由(1)知 $PA\perp$ 平面 $ABC$，即 $PA$ 为三棱锥 $P-BCD$ 的高，且 $PA=2$。 $△ABC$ 的面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$， 因为 $D$ 为 $AC$ 中点，所以 $△BCD$ 的面积 $S_{△BCD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=1$。 三棱锥 $E-BCD$ 的高 $h^{\prime }=\frac{1}{2}PA=1$。 故三棱锥 $E-BCD$ 的体积为： $V_{E-BCD}=\frac{1}{3}\times S_{△BCD}\times h^{\prime }=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直、面面垂直的判定与几何体体积。
2. 核心方法：利用线面垂直转化为线线垂直，利用中位线定理转化点到平面距离。
3. 避坑指南：证明面面垂直时，务必在其中一个平面内找到两条相交直线垂直于另一个平面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题的经典核心题型，综合性强。
2. 结论推广: 锥体中若平行于某条棱的截面过中位线，则顶点到平面的距离关系可直接按比例缩放。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-19 解-线线垂直
• 2018-天津卷文-17 解-线线垂直
• 1988-广东文-32 解-四棱锥的体积与线线垂直