2017-北京卷理-14 填-散点图

本题导读

本题考查散点图的几何意义，以及中点坐标公式。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示.其中点 $A_i(x_i,y_i)$ 的横、纵坐标分别为第 $i$ 名工人上午的工作时间和加工零件数，点 $B_i(x_i^{\prime },y_i^{\prime })$ 的横、纵坐标分别为第 $i$ 名工人下午的工作时间和加工零件数，$i=1,2,3$.

① 记 $Q_i$ 为第 $i$ 名工人在这一天中加工的零件总数，则 $Q_1,Q_2,Q_3$ 中最大的是 $\underline{}$.

② 记 $p_i$ 为第 $i$ 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 $p_1,p_2,p_3$ 中最大的是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 零件总数 $Q_i$ 的几何意义：

• $Q_i=y_i+y_i^{\prime }$（上午零件数 + 下午零件数）。
• 设线段 $A_i{B}_i$ 的中点为 $M_i$，则 $M_i$ 的纵坐标为 ${\bar{y}}_i=\frac{y_i+y_i^{\prime }}{2}$。
• 结论：比较 $Q_i$ 的大小，等价于观察散点图中 $A_i$ 与 $B_i$ 连线中点的“高度”（纵坐标）。

2. 工作效率 $p_i$ 的几何意义：

• $p_i=\frac{Q_i}{T_i}=\frac{y_i+y_i^{\prime }}{x_i+x_i^{\prime }}$（总零件数 / 总时间）。
• 这个分式结构在解析几何中代表中点 $M_i$ 与坐标原点 $O(0,0)$ 连线的斜率：$k_{O{M}_i}=\frac{\frac{y_i+y_i^{\prime }}{2}}{\frac{x_i+x_i^{\prime }}{2}}=\frac{y_i+y_i^{\prime }}{x_i+x_i^{\prime }}$。
• 结论：比较 $p_i$ 的大小，等价于观察原点与各中点连线的“倾斜程度”。

✅【答案】

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$Q_1$；$p_2$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $Q_1$；$p_2$ 【解析过程】 第一问：关于零件总数 由图观察可知（根据 2017 北京卷原图数据）：

• 连接 $A_1{B}_1$，$A_2{B}_2$，$A_3{B}_3$，找出它们的中点 $M_1,M_2,M_3$。
• 发现 $M_1$ 的位置明显高于 $M_2$ 和 $M_3$（即 $M_1$ 的纵坐标最大）。
• 由于 $Q_i=2\times y_{M_i}$，故 $Q_1$ 最大。

第二问：关于工作效率 工作效率 $p_i=\frac{y_i+y_i^{\prime }}{x_i+x_i^{\prime }}$，即中点 $M_i$ 与原点连线的斜率 $k_{O{M}_i}$。

• 连接 $O{M}_1,O{M}_2,O{M}_3$。
• 通过比较射线与 $x$ 轴正方向的夹角，观察发现 $O{M}_2$ 的坡度最陡，即其斜率最大。
• 因此 $p_2$ 最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 坐标法应用：将实际生产问题中的“总量”对应“坐标和”，将“效率”对应“斜率”，是解析几何的高阶应用。
• 中点的妙用：在处理“成对”出现的散点数据时，中点往往能概括该组数据的核心特征（平均位置）。
• 视觉偏差注意：在考试中，如果肉眼难以分辨，可以利用直尺连接两点确定中点位置，再连接原点进行对比。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以归纳这一类图像题的“翻译规则”：

• 纵坐标之和 $\leftrightarrow$ 中点高度。
• 横纵比（分式） $\leftrightarrow$ 斜率。
• 两点距离 $\leftrightarrow$ 工作波动程度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-03 单-散点图相关性
• 2023-上海卷-14 单-散点图相关性