2017-天津卷文-07 单-正弦函数

本题导读

考查正弦型函数的周期、最值及由特殊点求参数 $\omega$ 与 $\phi$ 的方法。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi )$，$x\in \mathbf{R}$，其中 $\omega >0$，$|\phi |<\pi$.若 $f\left(\frac{5\pi }{8}\right)=2$，$f\left(\frac{11\pi }{8}\right)=0$，且 $f(x)$ 的最小正周期大于 $2\pi$，则 ()

A. $\omega =\frac{2}{3},\phi =\frac{\pi }{12}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\omega =\frac{2}{3},\phi =-\frac{11\pi }{12}$

C. $\omega =\frac{1}{3},\phi =-\frac{11\pi }{24}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\omega =\frac{1}{3},\phi =\frac{7\pi }{24}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f\left(\frac{5\pi }{8}\right)=2$ 知该点为最大值点，即 $\omega \cdot \frac{5\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)。
2. 由 $f\left(\frac{11\pi }{8}\right)=0$ 知该点为平衡位置或零点，结合周期条件进一步确定 $\omega$ 的可能取值。
3. 利用最小正周期大于 $2\pi$（即 $T=\frac{2\pi }{\omega }>2\pi ⟹0<\omega <1$）筛选出正确的 $\omega$ 与 $\phi$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f\left(\frac{5\pi }{8}\right)=2=2\times 1$， 所以 $\omega \cdot \frac{5\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$) ① 因为 $f\left(\frac{11\pi }{8}\right)=0$，且从最大值到相邻的零点对应的相位差可推算： 若 $\omega \cdot \frac{11\pi }{8}+\phi =\pi +k^{\prime }\pi$， 两式相减或结合正弦函数图像性质： 从最大值点 $\frac{5\pi }{8}$ 到相邻的零点 $\frac{11\pi }{8}$，其距离可以是 $\frac{1}{4}T$ 或其他情况。 若 $\frac{11\pi }{8}-\frac{5\pi }{8}=\frac{6\pi }{8}=\frac{3\pi }{4}$。 若这段距离为 $\frac{1}{4}T$，则 $\frac{1}{4}T=\frac{3\pi }{4}⟹T=3\pi$，此时 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{3\pi }=\frac{2}{3}$（满足 $0<\omega <1$，即周期大于 $2\pi$）。 若 $\omega =\frac{2}{3}$，代入①式（取 $k=0$）： $\frac{2}{3}\times \frac{5\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}⟹\frac{5\pi }{12}+\phi =\frac{\pi }{2}⟹\phi =\frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{12}$。 检验选项：(A) 中 $\omega =\frac{2}{3},\phi =\frac{\pi }{12}$ 满足。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数周期、最大值点与零点的应用。
2. 核心方法：利用特征点相位差与周期关系求解。
3. 避坑指南：注意多解情况下利用“最小正周期大于 $2\pi$”这一限制条件进行有效筛选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数图像与性质综合题。
2. 结论推广: 正弦型函数 $y=Asin(\omega x+\phi )$ 中，相邻最大值点与零点之间的距离与周期 $T$ 紧密相关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-04 填-正弦函数的最小正周期
• 1985-广东文-10 填-正弦函数的最小正周期
• 1985-广东理-07 填-正弦函数的最小正周期