2017-天津卷文-14 填-向量

本题导读

考查平面向量的线性表示、向量数量积的定义与运算性质，属于平面向量综合压轴题。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ }$，$AB=3$，$AC=2$.若 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AE}=\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ ($\lambda \in \mathbf{R}$)，且 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}=-4$，则 $\lambda$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $A$ 为起点，建立向量基底 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$，已知 $|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=2$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 60^{\circ }=3\times 2\times \frac{1}{2}=3$。
2. 将 $\overrightarrow{AD}$ 和 $\overrightarrow{AE}$ 用基底 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 表示出来。
3. 利用数量积公式 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}=-4$ 建立关于 $\lambda$ 的方程，求解 $\lambda$。

✅【答案】

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$\frac{3}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，已知 $|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=2$，夹角 $\angle A=60^{\circ }$， 故 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\times 2\times \cos 60^{\circ }=3\times 2\times \frac{1}{2}=3$。 由 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$ 可知，点 $D$ 是线段 $BC$ 的分点， 用基底 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$： $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。 已知 $\overrightarrow{AE}=\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。 根据条件 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}=-4$，代入基底表达式： $\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\cdot (-\overrightarrow{AB}+\lambda \overrightarrow{AC})=-4$。 展开数量积： $-\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}{|}^2+\frac{\lambda }{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\frac{2\lambda }{3}|\overrightarrow{AC}{|}^2=-4$。 代入已知数据： $|\overrightarrow{AB}{|}^2=3^2=9$； $|\overrightarrow{AC}{|}^2=2^2=4$； $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3$。 代入上式得： $-\frac{1}{3}(9)+\frac{\lambda }{3}(3)-\frac{2}{3}(3)+\frac{2\lambda }{3}(4)=-4$ $-3+\lambda -2+\frac{8\lambda }{3}=-4$ $-5+\frac{11\lambda }{3}=-4$ $\frac{11\lambda }{3}=1⟹\lambda =\frac{3}{11}$。 故答案为：$\frac{3}{11}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 向量线性运算、基底法、数量积运算律。
2. 核心方法: 选定不共线向量作为基底，将所有向量进行线性转化。
3. 避坑指南: 准确运用分点向量公式（$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$），并在展开数量积时细心计算各项系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量综合大题或高难填空题。
2. 结论推广: 三角形中已知两边及夹角时，任何平面向量均可唯一表示为两边基底的线性组合，其数量积可转化为基底的模长与夹角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角
• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转
• 1990-广东文-12 单-复数向量的旋转