2017-天津卷理-13 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ }$，$AB=3$，$AC=2$.若 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AE}=\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$)，且 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}=-4$，则 $\lambda$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基底：已知 $△ABC$ 中 $AB,AC$ 的模及夹角 $\angle A$，选取 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 作为基底最为方便。

• $|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=2$。
• $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\times 2\times \cos 60^{\circ }=3$。

2. 表示向量 $\overrightarrow{AD}$：由 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$ 知点 $D$ 在 $BC$ 上且分比为 $2$。

• $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{1+2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{1+2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。

3. 建立数量积方程：已知 $\overrightarrow{AE}=\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，代入 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}=-4$。

• $(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC})\cdot (\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-4$。

4. 展开并求解：利用向量运算律展开，代入模和数量积的具体值，解出一元一次方程中的 $\lambda$。

✅【答案】

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$\frac{3}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{3}{11}$ 【解析过程】

1. 基底数据准备： 在 $△ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos A=3\times 2\times \frac{1}{2}=3$。 且 $|\overrightarrow{AB}{|}^2=9$，$|\overrightarrow{AC}{|}^2=4$。
2. 基底表示 $\overrightarrow{AD}$： 因为 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，所以 $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$， 整理得 $3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$，即 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。
3. 计算数量积： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}=(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC})\cdot (\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$ $=\frac{\lambda }{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{2\lambda }{3}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$ 代入已知数值： $=\frac{\lambda }{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 9+\frac{2\lambda }{3}\times 4-\frac{2}{3}\times 3$ $=\lambda -3+\frac{8\lambda }{3}-2$ $=\frac{11\lambda }{3}-5$。
4. 求解 $\lambda$： 由 $\frac{11\lambda }{3}-5=-4$，得 $\frac{11\lambda }{3}=1$， 解得 $\lambda =\frac{3}{11}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基底法的核心：凡是涉及模长和夹角的向量计算，首选基底法。只要将所有向量化归为同一组基底，剩下的就是纯粹的代数运算。
• 定比分点公式：若 $\overrightarrow{PD}=m\overrightarrow{DB}$，则 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{1+m}\overrightarrow{AP}+\frac{m}{1+m}\overrightarrow{AB}$。
• 此类题目运算量适中，出错点通常在展开时的正负号以及漏乘系数。建议每一步展开都对应列出，避免心算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角
• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转
• 1990-广东文-12 单-复数向量的旋转