2017-天津卷理-17 解-二面角

本题导读

本题考查空间向量的应用。核心在于空间向量法、坐标建系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABC$，$\angle BAC=90^{\circ }$.点 $D,E,N$ 分别为棱 $PA,PC,BC$ 的中点，$M$ 是线段 $AD$ 的中点，$PA=AC=4$，$AB=2$.

(1)求证：$MN\parallel$ 平面 $BDE$；

(2)求二面角 $C-EM-N$ 的正弦值；

(3)已知点 $H$ 在棱 $PA$ 上，且直线 $NH$ 与直线 $BE$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{21}$，求线段 $AH$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：由于 $PA\perp$ 底面 $ABC$ 且 $AB\perp AC$，以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
2. 写出点坐标：根据长度关系写出 $A,B,C,P$ 的坐标，进而利用中点公式写出 $D,E,N,M$ 的坐标。
3. 第一问（线面平行）：求出平面 $BDE$ 的法向量 $\mathbf{n}$，证明 $\overrightarrow{MN}\cdot \mathbf{n}=0$。
4. 第二问（二面角）：分别求出平面 $CEM$ 和平面 $EMN$ 的法向量，利用夹角公式求出余弦值，再转化为正弦值。
5. 第三问（异面直线角）：设 $H(0,0,h)$，表示出 $\overrightarrow{NH}$ 和 $\overrightarrow{BE}$，利用向量夹角余弦值公式列出关于 $h$ 的方程。

✅【答案】

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第（1）问𝑀𝑁∥平面𝐵𝐷𝐸；第（2）问二面角𝐶−𝐸𝑀−𝑁的正弦值为√10521；第（3）问𝐴𝐻=8

✍【详细解析】

Abstract

解：

依题意，以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 则 $A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4)$。 根据中点性质得：$D(0,0,2),E(0,2,2),N(1,2,0),M(0,0,1)$。

(1)证明： $\overrightarrow{DE}=(0,2,0),\overrightarrow{DB}=(2,0,-2)$。 设平面 $BDE$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{DE}=2y=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{DB}=2x-2z=0\end{array}$，令 $z=1$，得 ${\mathbf{n}}_1=(1,0,1)$。 又 $\overrightarrow{MN}=(1,2,-1)$，则 $\overrightarrow{MN}\cdot {\mathbf{n}}_1=1\times 1+2\times 0+(-1)\times 1=0$。 因为 $MN\not\subset$ 平面 $BDE$，所以 $MN\parallel$ 平面 $BDE$。

(2)求二面角： 易知平面 $CEM$（即平面 $yAz$）的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(1,0,0)$。 设平面 $EMN$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_3=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{EM}=(0,-2,-1),\overrightarrow{MN}=(1,2,-1)$。 $\{\begin{array}{l}-2y-z=0\\ x+2y-z=0\end{array}$，令 $y=1$，得 ${\mathbf{n}}_3=(-4,1,-2)$。 $\cos ⟨{\mathbf{n}}_2,{\mathbf{n}}_3⟩=\frac{-4}{1\times \sqrt{16+1+4}}=-\frac{4}{\sqrt{21}}$。 则 $\sin ⟨{\mathbf{n}}_2,{\mathbf{n}}_3⟩=\sqrt{1-(-\frac{4}{\sqrt{21}}{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{105}}{21}$。 所以二面角 $C-EM-N$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{105}}{21}$。

(3)求线段长： 设 $H(0,0,h)$ ($0\le h\le 4$)，则 $\overrightarrow{NH}=(-1,-2,h)$。 又 $\overrightarrow{BE}=(-2,2,2)$。 $|\cos ⟨\overrightarrow{NH},\overrightarrow{BE}⟩|=\frac{|2-4+2h|}{\sqrt{h^2+5}\times \sqrt{12}}=\frac{|2h-2|}{2\sqrt{3(h^2+5)}}=\frac{\sqrt{7}}{21}$。 整理得 $10h^2-21h+8=0$，解得 $h=\frac{8}{5}$ 或 $h=\frac{1}{2}$。 所以线段 $AH$ 的长为 $\frac{8}{5}$ 或 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 建系的艺术：利用题目中的垂直关系（如 $PA\perp$ 底面）建系可以极大简化坐标计算。
• 正余弦转换：法向量夹角的余弦值不直接等于二面角的大小（可能是补角），但正弦值在 $(0,\pi )$ 范围内始终为正且数值相等。
• 分值分布：此题分值为 13 分。建系写坐标、求法向量、最终计算结果是关键得分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 1958-北京-07 解-二面角内点到棱的距离
• 1958-湖南-08 解-二面角平分面的等距性