2017-天津卷理-19 解-圆锥曲线综合

本题导读

本题考查椭圆与抛物线的标准方程。核心在于待定系数法、联立方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$，离心率为 $\frac{1}{2}$.已知 $A$ 是抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点，$F$ 到抛物线的准线 $l$ 的距离为 $\frac{1}{2}$.

(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；

(2)设 $l$ 上两点 $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $AP$ 与椭圆相交于点 $B$（$B$ 异于点 $A$），直线 $BQ$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$.若 $△APD$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直线 $AP$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求方程）：

• 椭圆参数关系：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2c$。
• 抛物线焦点为 $A(a,0)$，则 $\frac{p}{2}=a⟹p=2a$。
• 抛物线准线 $l:x=-a$。
• 距离条件：$F(-c,0)$ 到 $l$ 的距离为 $|-c-(-a)|=a-c=\frac{1}{2}$。
• 联立求解 $a,c,b$，得到两曲线方程。

2. 第二问（求直线方程）：

• 设直线 $AP$ 的斜率为 $k$（或用 $x=my+1$），与准线 $x=-1$ 交点为 $P$，由于 $Q$ 与 $P$ 对称，可得 $Q$ 坐标。
• 联立直线 $AP$ 与椭圆方程，求出 $B$ 点坐标。
• 确定直线 $BQ$ 方程，令 $y=0$ 求出点 $D$ 坐标。
• 表达 $△APD$ 的面积 $S=\frac{1}{2}|AD|\cdot |y_P|$，建立关于斜率参数的方程。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)设椭圆左焦点 $F(-c,0)$，右顶点 $A(a,0)$。由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 得 $a=2c$。 抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $(\frac{p}{2},0)$，由题意 $\frac{p}{2}=a$，准线 $l:x=-\frac{p}{2}=-a$。 $F$ 到 $l$ 的距离为 $a-c=\frac{1}{2}$。 联立 $\{\begin{array}{l}a=2c\\ a-c=\frac{1}{2}\end{array}$ 解得 $a=1,c=\frac{1}{2}$。 则 $b^2=a^2-c^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，$p=2a=2$。 所以椭圆方程为 $x^2+\frac{4y^2}{3}=1$，抛物线方程为 $y^2=4x$。

(2)由(1)知 $A(1,0)$，$l:x=-1$。 由于直线 $AP$ 过点 $A$，设其方程为 $x=my+1(m\ne 0)$。 令 $x=-1$，得 $my=-2⟹y=-\frac{2}{m}$。则 $P(-1,-\frac{2}{m})$，根据对称性 $Q(-1,\frac{2}{m})$。 联立 $\{\begin{array}{l}x=my+1\\ x^2+\frac{4y^2}{3}=1\end{array}$，消去 $x$ 得 $(my+1{)}^2+\frac{4}{3}{y}^2=1$，即 $(m^2+\frac{4}{3})y^2+2my=0$。 解得 $y=0$（对应点 $A$）或 $y=\frac{-6m}{3m^2+4}$。 代入 $x=my+1$，得点 $B(\frac{4-3m^2}{3m^2+4},\frac{-6m}{3m^2+4})$。 直线 $BQ$ 的方程为 $\frac{y-\frac{2}{m}}{x+1}=\frac{\frac{-6m}{3m^2+4}-\frac{2}{m}}{\frac{4-3m^2}{3m^2+4}+1}=\frac{-6m^2-6m^2-8}{m(4-3m^2+3m^2+4)}=\frac{-12m^2-8}{8m}=-\frac{3m^2+2}{2m}$。 令 $y=0$，得 $x=\frac{\frac{2}{m}}{\frac{3m^2+2}{2m}}-1=\frac{4}{3m^2+2}-1=\frac{2-3m^2}{3m^2+2}$。 则 $D(\frac{2-3m^2}{3m^2+2},0)$。 $|AD|=|1-\frac{2-3m^2}{3m^2+2}|=\frac{6m^2}{3m^2+2}$。 $S_{△APD}=\frac{1}{2}|AD|\cdot |y_P|=\frac{1}{2}\cdot \frac{6m^2}{3m^2+2}\cdot |\frac{2}{m}|=\frac{6|m|}{3m^2+2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 整理得 $\sqrt{6}{m}^2-4|m|+\frac{2\sqrt{6}}{3}=0⟹3m^2-2\sqrt{6}|m|+2=0$。 解得 $|m|=\frac{2\sqrt{6}\pm \sqrt{24-24}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 所以 $m=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$。 当 $m=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，$x=\frac{\sqrt{6}}{3}y+1⟹3x-\sqrt{6}y-3=0$； 当 $m=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，$3x+\sqrt{6}y-3=0$。 故直线 $AP$ 的方程为 $3x-\sqrt{6}y-3=0$ 或 $3x+\sqrt{6}y-3=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方程互化：在直线斜率不确定的情况下，设 $x=my+1$ 往往比 $y=k(x-1)$ 更能避免对垂直于 $x$ 轴情况的分类讨论。
• 对称性的利用：点 $P,Q$ 的对称性在计算直线 $BQ$ 斜率时起到了简化作用，注意消项。
• 本题虽然步骤多，但每一步都是“常规套路”：建系 $\to$ 设点 $\to$ 联立 $\to$ 解交点 $\to$ 面积建模。解析几何压轴题胜在“稳”字。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 思考：本题中点 $D$ 的横坐标表达式是否预示着某种调和分割关系？
2. 知识关联：本题展示了直线与椭圆、抛物线位置关系的综合考查，是高考命题中“一题双曲线”的典范。

🔗【关联脉络】

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