2017-山东卷理-09 单-两角和

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及正弦定理。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.若 $△ABC$ 为锐角三角形，且满足 $\sin B(1+2\cos C)=2\sin A\cos C+\cos A\sin C$，则下列等式成立的是 ()

A. $a=2b$　　　　B. $b=2a$　　　　C. $A=2B$　　　　D. $B=2A$

🔍【思路分析】

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1. 展开等式：将左边展开为 $\sin B+2\sin B\cos C$。
2. 利用内角和性质：根据 $A+B+C=\pi$，有 $\sin B=\sin (A+C)$。利用两角和的正弦公式展开为 $\sin A\cos C+\cos A\sin C$。
3. 抵消与化简：将展开后的 $\sin B$ 代入原等式，观察等号两边相同的项并抵消，简化为关于 $\sin A$ 和 $\sin B$ 的简洁比例关系。
4. 正弦定理转化：利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，将角的正弦比转化为边的比例，得出最终结论。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 已知等式为：$\sin B(1+2\cos C)=2\sin A\cos C+\cos A\sin C$ 展开左边得：$\sin B+2\sin B\cos C=2\sin A\cos C+\cos A\sin C$ —— ①

在 $△ABC$ 中，因为 $B=\pi -(A+C)$， 所以 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$。 将此式代入 ① 中： $(\sin A\cos C+\cos A\sin C)+2\sin B\cos C=2\sin A\cos C+\cos A\sin C$

等式两边同时减去 $\cos A\sin C$，得： $\sin A\cos C+2\sin B\cos C=2\sin A\cos C$ 移项化简得： $2\sin B\cos C=\sin A\cos C$

因为 $△ABC$ 是锐角三角形，所以 $\cos C\ne 0$。 两边同时除以 $\cos C$，得： $2\sin B=\sin A$

根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$，可得 $\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$。 代入上式得：$2\cdot \frac{b}{2R}=\frac{a}{2R}$， 即 $a=2b$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 两角和公式：$\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ 是本题化简的突破口。
• 边角转化的选择：当等式中同时出现角的正弦和余弦时，通常先利用三角恒等变换统一函数名或简化结构，最后再用正弦定理化角为边。
• 隐含条件：锐角三角形保证了 $\cos C>0$，从而可以直接消去 $\cos C$。如果是普通三角形，则需讨论 $\cos C=0$ 的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目条件改为 ${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C+\sin B\sin C$，则由余弦定理可判定 $A=120^{\circ }$。
2. 知识关联：解三角形题目中，“角化边”和“边化角”是核心策略。通常情况下，已知比例关系优先“角化边”，已知平方关系优先“边化角（余弦定理）”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1977-浙江-08 解-两角和正弦分类
• 1977-辽宁-08 解-两角和余弦
• 1986-广东文-15 单-两角和的正切