2017-山东卷理-15 填-新定义

本题导读

本题考查新定义问题，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 若函数 $e^{x}f(x)$（$e=2.71828\dots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 $M$ 性质.下列函数中所有具有 $M$ 性质的函数的序号为 $\underline{}$.

① $f(x)=2^{-x}$

② $f(x)=3^{-x}$

③ $f(x)=x^3$

④ $f(x)=x^2+2$

🔍【思路分析】

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1. 理解新定义：判断 $f(x)$ 是否具有 $M$ 性质，等价于判断新函数 $g(x)=e^{x}f(x)$ 是否在原定义域上满足 $g^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立（且不恒为零）。
2. 逐一验证：

• 对于指数型：利用指数幂的运算法则合并底数，判断底数与 1 的大小关系。
• 对于幂函数或多项式型：求导 $g^{\prime }(x)=e^{x}f(x)+e^x{f}^{\prime }(x)=e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]$，通过判断括号内式子的正负来确定单调性。

✅【答案】

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①④

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 ①④ 【解析过程】 验证 ①：$f(x)=2^{-x}$。 $e^{x}f(x)=e^x\cdot 2^{-x}=e^x\cdot (\frac{1}{2}{)}^x=(\frac{e}{2}{)}^x$。 因为 $e\approx 2.718>2$，所以 $\frac{e}{2}>1$。 函数 $y=(\frac{e}{2}{)}^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，故 ① 具有 $M$ 性质。

验证 ②：$f(x)=3^{-x}$。 $e^{x}f(x)=e^x\cdot 3^{-x}=(\frac{e}{3}{)}^x$。 因为 $e\approx 2.718<3$，所以 $0<\frac{e}{3}<1$。 函数 $y=(\frac{e}{3}{)}^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，故 ② 不具有 $M$ 性质。

验证 ③：$f(x)=x^3$。 设 $g(x)=e^x\cdot x^3$，则 $g^{\prime }(x)=e^x\cdot x^3+e^x\cdot 3x^2=e^x\cdot x^2(x+3)$。 当 $x\in (-3,0)\cup (0,+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)>0$； 但当 $x<-3$ 时，$g^{\prime }(x)<0$。 函数 $g(x)$ 在 $(-\infty ,-3)$ 上递减，在 $(-3,+\infty )$ 上递增，不是在定义域上单调递增，故 ③ 不具有 $M$ 性质。

验证 ④：$f(x)=x^2+2$。 设 $g(x)=e^x(x^2+2)$，则 $g^{\prime }(x)=e^x(x^2+2)+e^x(2x)=e^x(x^2+2x+2)$。 对于二次式 $x^2+2x+2$，其判别式 $\Delta =2^2-4\times 1\times 2=-4<0$。 且二次项系数 $1>0$，故 $x^2+2x+2>0$ 对任意 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立。 又 $e^x>0$，所以 $g^{\prime }(x)>0$ 恒成立。 函数 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，故 ④ 具有 $M$ 性质。

综上，具有 $M$ 性质的函数序号为 ①④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数乘法法则：$[e^{x}f(x){]}^{\prime }=e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]$。这是处理此类“$e^x$ 复合函数”问题的捷径。
• 指数函数性质：$y=a^x$ 的单调性完全取决于底数 $a$ 与 1 的大小关系。
• 填空题最后一道常考查新定义，这类题的关键是“脱掉新定义的外壳”，将其转化为熟悉的导数不等式或函数单调性问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目要求 $f(x)$ 具有 $M$ 性质且 $f(x)$ 是线性函数 $f(x)=kx+b$，则 $k,b$ 需满足什么关系？（提示：利用 $f(x)+f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立）。
2. 知识关联：本题中 $g^{\prime }(x)=e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]$ 的形式在构造函数解不等式（如 $f^{\prime }(x)>-f(x)$）中非常常见。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-10 单-电子投票新定义计数
• 2005-上海卷文-22 解-新定义分段函数
• 2009-湖南卷文-08 单-新定义分段函数