2017-山东卷理-17 解-二面角

本题导读

本题考查空间几何体。核心在于几何法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 $ABCD$（及其内部）以 $AB$ 边所在直线为旋转轴旋转 $120^{\circ }$ 得到的，$G$ 是 $\widehat{DF}$ 的中点.

(1)设 $P$ 是 $\widehat{CE}$ 上的一点，且 $AP\perp BE$，求 $\angle CBP$ 的大小；

(2)当 $AB=3,AD=2$ 时，求二面角 $E-AG-C$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面关系与角度）：

• 利用圆柱的性质知 $AB\perp$ 底面，故 $AB\perp BE$。
• 已知 $AP\perp BE$，且 $AB\cap AP=A$，从而证明 $BE\perp$ 平面 $ABP$。
• 进而得出 $BE\perp BP$，即 $\angle EBP=90^{\circ }$。
• 利用旋转角 $120^{\circ }$（$\angle EBC=120^{\circ }$）求出 $\angle CBP$。

2. 第二问（二面角计算）：

• 几何法：通过取中点、连线构造二面角的平面角 $\angle EMC$，在三角形中利用余弦定理求解。
• 空间向量法：以 $B$ 为原点建立空间直角坐标系。写出相关点的坐标，分别求出平面 $AEG$ 和平面 $ACG$ 的法向量，利用法向量夹角公式求出二面角的余弦值。

✅【答案】

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因此𝛼= 60∘

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)因为 $AB$ 是旋转轴，所以 $AB\perp$ 平面 $BCE$。 因为 $BE\subset$ 平面 $BCE$，所以 $AB\perp BE$。 又已知 $AP\perp BE$，且 $AB\cap AP=A$，$AB,AP\subset$ 平面 $ABP$。 所以 $BE\perp$ 平面 $ABP$。 因为 $BP\subset$ 平面 $ABP$，所以 $BE\perp BP$，即 $\angle EBP=90^{\circ }$。 由题意知 $\angle EBC=120^{\circ }$， 所以 $\angle CBP=\angle EBC-\angle EBP=120^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$。

(2)（空间向量法）

以 $B$ 为坐标原点，$BE,BP,BA$ 所在的直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 由 $AB=3,AD=2$ 可知圆柱底面半径为 2。 相关点坐标为：$A(0,0,3)$，$E(2,0,0)$，$C(-1,\sqrt{3},0)$。 因为 $G$ 是 $\widehat{DF}$ 的中点，且旋转角为 $120^{\circ }$，对应的底面投影 $G^{\prime }$ 位于 $\angle EBC$ 的平分线上，即 $\angle EB{G}^{\prime }=60^{\circ }$。 故 $G(2\cos 60^{\circ },2\sin 60^{\circ },3)=G(1,\sqrt{3},3)$。

则 $\overrightarrow{AE}=(2,0,-3)$，$\overrightarrow{AG}=(1,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{CG}=(2,0,3)$。 设 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$ 为平面 $AEG$ 的一个法向量： $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{AG}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x_1-3z_1=0\\ x_1+\sqrt{3}{y}_1=0\end{array}$ 取 $z_1=2$，可得 $\vec{m}=(3,-\sqrt{3},2)$。

设 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$ 为平面 $ACG$ 的一个法向量： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AG}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CG}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_2+\sqrt{3}{y}_2=0\\ 2x_2+3z_2=0\end{array}$ 取 $z_2=-2$，可得 $\vec{n}=(3,-\sqrt{3},-2)$。

计算 $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{9+3-4}{\sqrt{16}\cdot \sqrt{16}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。 由于二面角为锐角（由图可观察），故二面角的大小为 $60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 旋转体的性质：理解圆柱的轴垂直于底面是证明线面垂直的关键。
• 法向量方向：在使用向量法时，计算出的夹角可能是二面角本身，也可能是其补角。需结合图形判断二面角是锐角还是钝角。
• 几何法（如解法一中的等边三角形法）在计算量上通常较小，但需要极强的空间想象力和辅助线构造技巧；向量法虽然步骤多，但思路固定，是考场上的稳妥方案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 1958-北京-07 解-二面角内点到棱的距离
• 1958-湖南-08 解-二面角平分面的等距性