2017-江苏卷-06 填-球

本题导读

本题考查圆柱的体积公式，以及球的体积公式。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 如图，在圆柱 $O_1{O}_2$ 内有一个球 $O$，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 $O_1{O}_2$ 的体积为 $V_1$，球 $O$ 的体积为 $V_2$，则 $\frac{V_1}{V_2}$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析切接关系：

• 球与圆柱的母线相切：意味着圆柱的底面半径 $R$ 等于球的半径 $r$。
• 球与圆柱的上、下底面相切：意味着圆柱的高 $h$ 等于球的直径 $2r$。

2. 列出体积公式：

• 圆柱体积 $V_1=S_{\text{底}}\cdot h=\pi R^2\cdot h$。
• 球的体积 $V_2=\frac{4}{3}\pi r^3$。

3. 代入统一变量：将 $R=r$ 和 $h=2r$ 代入公式，求比值即可。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设球 $O$ 的半径为 $r$。 由于球与圆柱的母线相切，则圆柱的底面半径 $R=r$； 由于球与圆柱的上、下面均相切，则圆柱的高 $h=2r$。 根据体积公式： 圆柱的体积 $V_1=\pi R^{2}h=\pi \cdot r^2\cdot 2r=2\pi r^3$。 球的体积 $V_2=\frac{4}{3}\pi r^3$。 则体积之比为： $\frac{V_1}{V_2}=\frac{2\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3}=2÷\frac{4}{3}=2\times \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

故答案为：$\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 内切球模型：这种“球塞满圆柱”的模型在立体几何中非常经典。在阿基米德的墓碑上就刻着这个图形，他发现这种情况下圆柱与球的体积比、表面积比均为 $3:2$。
• 几何条件的转化：
• “与侧面（母线）相切” $\to$ 半径相等。
• “与底面相切” $\to$ 高与直径的关系。
• 公式记忆：球的体积公式中 $\frac{4}{3}$ 的系数和 $r^3$ 的次数是极易记错的细节，建议通过量纲（体积是三维长度相乘）来辅助记忆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1958-北京-06 解-球面两点作大圆的个数