2017-江苏卷-12 填-向量

本题导读

本题考查向量的线性表示，以及平面向量的基本定理。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 如图，在同一个平面内，向量 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$ 的模分别为 $1,1,\sqrt{2}$.$\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角为 $\alpha$，且 $\tan \alpha =7$，$\overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角为 $45^{\circ }$.若 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ ($m,n\in \mathbb{R}$)，则 $m+n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三角函数预处理：已知 $\tan \alpha =7$ 且 $\alpha$ 为向量夹角（通常指 $[0,\pi ]$），由于正切为正，$\alpha$ 为第一象限角。

• 利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 和 $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=7$ 求出 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$。

2. 建立坐标系（正交分解）：为了方便计算，以 $\overrightarrow{OC}$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系。

• 此时 $\overrightarrow{OC}=(\sqrt{2},0)$。
• 根据夹角关系，确定 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 的坐标。注意根据题目图形，$\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 分布在 $\overrightarrow{OC}$ 的两侧（一正一负）。

3. 列方程组：根据 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，对应横纵坐标分别相等，列出关于 $m,n$ 的方程。
4. 求解：解方程组求出 $m,n$，最后求和。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：求相关三角函数值 由 $\tan \alpha =7$ 且 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$： 设 $\cos \alpha =k$，则 $\sin \alpha =7k$。 由 $k^2+(7k{)}^2=1$ 得 $50k^2=1$，则 $k=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。 所以 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\sin \alpha =\frac{7\sqrt{2}}{10}$。

第二步：坐标化向量 以 $\overrightarrow{OC}$ 所在直线为 $x$ 轴，过 $O$ 点垂直于 $OC$ 的直线为 $y$ 轴建立直角坐标系。 则 $\overrightarrow{OC}=(\sqrt{2},0)$。 根据向量模长及夹角（设 $A,B$ 在 $OC$ 两侧）： $\overrightarrow{OA}=(|\overrightarrow{OA}|\cos \alpha ,-|\overrightarrow{OA}|\sin \alpha )=(\frac{\sqrt{2}}{10},-\frac{7\sqrt{2}}{10})$。 $\overrightarrow{OB}=(|\overrightarrow{OB}|\cos 45^{\circ },|\overrightarrow{OB}|\sin 45^{\circ })=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$。

第三步：建立并求解方程组 由 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 得： $(\sqrt{2},0)=m(\frac{\sqrt{2}}{10},-\frac{7\sqrt{2}}{10})+n(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 对应分量相等，两边同时约去 $\sqrt{2}$： $\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}m+\frac{1}{2}n=1\\ -\frac{7}{10}m+\frac{1}{2}n=0\end{array}$ 由第二式得 $\frac{1}{2}n=\frac{7}{10}m$，代入第一式： $\frac{1}{10}m+\frac{7}{10}m=1\Rightarrow \frac{8}{10}m=1\Rightarrow m=\frac{5}{4}$。 代回得 $\frac{1}{2}n=\frac{7}{10}\times \frac{5}{4}=\frac{7}{8}\Rightarrow n=\frac{7}{4}$。

第四步：计算结果 $m+n=\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{12}{4}=3$。

故答案为：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 正交分解的力量：对于这种涉及多个夹角和模长的平面向量问题，建立坐标系（尤其是以其中一个向量为轴）能将几何问题迅速转化为线性方程组，逻辑最清晰。
• 投影法的思考：也可以利用向量数量积。两边同时点乘 $\overrightarrow{OC}$，得到 ${\overrightarrow{OC}}^2=m\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}+n\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$，即 $2=m\cos \alpha +n\cos 45^{\circ }$。但仅一个方程无法求出两个变量，仍需辅助其他投影或几何关系。
• 本题考查了向量作为“工具”的作用。脱去向量外衣，转化为三角函数与代数方程。在填空题中，坐标轴的选择（如以 $OC$ 为 $x$ 轴）能大幅简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角
• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转
• 1990-广东文-12 单-复数向量的旋转