2017-浙江卷-07 单-导数

本题导读

本题考查导数与函数单调性的关系，以及函数的极值点判定。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 函数 $y=f(x)$ 的导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图像如图所示，则函数 $y=f(x)$ 的图像可能是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 导数正负与单调性：

• 当 $f^{\prime }(x)>0$ 时，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $f^{\prime }(x)<0$ 时，$f(x)$ 单调递减。

2. 分析导函数图象特征：

• 在第一个零点左侧，$f^{\prime }(x)<0⟹f(x)$ 递减；
• 在第一、第二个零点之间，$f^{\prime }(x)>0⟹f(x)$ 递增；
• 在第二、第三个零点之间，$f^{\prime }(x)<0⟹f(x)$ 递减；
• 在第三个零点右侧，$f^{\prime }(x)>0⟹f(x)$ 递增。

3. 确定极值点位置：

• 导函数从负变正的点（第一、三个零点）是原函数的极小值点；
• 导函数从正变负的点（第二个零点）是原函数的极大值点。

4. 观察 $y$ 轴位置：根据真题图示，第二个零点（极大值点）位于 $y$ 轴右侧（即 $x>0$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据导函数 $f^{\prime }(x)$ 的图象进行分析：

1. 区间单调性推导：

• 设导函数与 $x$ 轴交点自左向右依次为 $x_1,x_2,x_3$。
• 当 $x\in (-\infty ,x_1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 递减；
• 当 $x\in (x_1,x_2)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 递增；
• 当 $x\in (x_2,x_3)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 递减；
• 当 $x\in (x_3,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 递增。

2. 波形判定：原函数图象呈现“减—增—减—增”的“W”型走势。
3. 关键点判定：

• 极大值点出现在 $x=x_2$ 处。由导函数图象可知 $x_2>0$，即极大值点在 $y$ 轴右侧。
• 极小值点分别出现在 $x_1$（负半轴）和 $x_3$（正半轴）。 对比选项，只有 D 选项符合先减后增、再减再增，且极大值点在 $y$ 轴右侧的特征。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 口诀记忆：导函数“看正负”（原函数看增减），原函数“看趋势”（导函数看正负）。
• 零点与极值：导函数的变号零点对应原函数的极值点。若导函数图象只是切于 $x$ 轴而不穿越（不改号），则该点不是极值点。
• 此类题目不需要看导函数的增减性（那对应的是原函数的凹凸性/二阶导），只需死盯导函数图象在 $x$ 轴的上还是下。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：如果导函数图象在 $x=0$ 处刚好过原点，原函数图象会有什么特征？

• 意味着 $f(x)$ 的极大值或极小值正好落在 $y$ 轴上。

2. 知识关联：本题是导数应用的基础题，后续大题中常利用此原理通过求导来画出复杂函数的运行轨迹。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-22 解-导数
• 1977-吉林-13 解-导数运算
• 1977-山西-09 解-导数运算