2017-浙江卷-08 单-两点分布

本题导读

本题考查两点分布，以及离散型随机变量的期望。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知随机变量 ${\xi }_i$ 满足 $P({\xi }_i=1)=p_i$，$P({\xi }_i=0)=1-p_i$ ($i=1,2$).若 $0<p_1<p_2<\frac{1}{2}$，则 ()

A. $E({\xi }_1)<E({\xi }_2)$，$D({\xi }_1)<D({\xi }_2)$　　　B. $E({\xi }_1)<E({\xi }_2)$，$D({\xi }_1)>D({\xi }_2)$

C. $E({\xi }_1)>E({\xi }_2)$，$D({\xi }_1)<D({\xi }_2)$　　　D. $E({\xi }_1)>E({\xi }_2)$，$D({\xi }_1)>D({\xi }_2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定分布类型：由于 ${\xi }_i$ 仅取 0 和 1 两个值，且对应的概率和为 1，说明 ${\xi }_i$ 服从两点分布（伯努利分布），记作 ${\xi }_i\sim B(1,p_i)$。
2. 写出期望公式：两点分布的期望 $E(\xi )=p$。直接比较 $p_1$ 与 $p_2$ 即可。
3. 写出方差公式：两点分布的方差 $D(\xi )=p(1-p)$。
4. 利用函数单调性比较方差：构造二次函数 $f(p)=p(1-p)=-p^2+p$。分析该函数在区间 $(0,\frac{1}{2})$ 上的增减性。
5. 得出结论：根据 $p_1,p_2$ 在区间内的位置关系判定 $D({\xi }_1)$ 与 $D({\xi }_2)$ 的大小。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 比较期望： 根据两点分布的期望公式： $E({\xi }_1)=1\times p_1+0\times (1-p_1)=p_1$ $E({\xi }_2)=1\times p_2+0\times (1-p_2)=p_2$ 因为 $p_1<p_2$，所以 $E({\xi }_1)<E({\xi }_2)$。

2. 比较方差： 根据两点分布的方差公式： $D({\xi }_1)=p_1(1-p_1)$ $D({\xi }_2)=p_2(1-p_2)$ 令 $f(p)=p(1-p)=-p^2+p$。该二次函数图象开口向下，对称轴为 $p=\frac{1}{2}$。 当 $p\in (0,\frac{1}{2})$ 时，函数 $f(p)$ 单调递增。 因为 $0<p_1<p_2<\frac{1}{2}$， 所以 $f(p_1)<f(p_2)$，即 $D({\xi }_1)<D({\xi }_2)$。

综上所述，$E({\xi }_1)<E({\xi }_2)$，$D({\xi }_1)<D({\xi }_2)$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 两点分布模型：$X\in \{0,1\}$，则 $E(X)=p$，$D(X)=p(1-p)$。这是概率统计中最基础且高频的结论。
• 方差的最大值：从二次函数性质可知，当 $p=\frac{1}{2}$ 时，方差取得最大值 $\frac{1}{4}$。这意味着事件发生与不发生的概率相等时，随机变量的波动性（不确定性）最大。
• 在比较大小的题目中，将代数式转化为函数关系，并利用函数单调性来求解是数学中“以静制动”的高效套路。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目条件改为 $\frac{1}{2}<p_1<p_2<1$，结论会如何变化？

• 期望关系不变，仍为 $E({\xi }_1)<E({\xi }_2)$；
• 但由于 $f(p)$ 在 $(\frac{1}{2},1)$ 递减，此时方差关系反转，变为 $D({\xi }_1)>D({\xi }_2)$。

2. 知识关联：方差的概念可以延伸到二项分布 $X\sim B(n,p)$，其方差 $D(X)=np(1-p)$，同样在 $p=0.5$ 时达到最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2001-新课标理-14 填-超几何分布数学期望
• 2002-新课标理-19 解-独立重复试验
• 1996-上海文-18B 填-离散型随机变量的期望