2017-浙江卷-09 单-正四面体

本题导读

本题考查正四面体的几何性质，以及二面角的平面角定义。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 如图，已知正四面体 $D-ABC$，P，Q，R 分别为 $AB$，$BC$，$CA$ 上的点，$AP=PB$，$\frac{BQ}{QC}=\frac{CR}{RA}=2$.分别记二面角 $D-PR-Q$，$D-PQ-R$，$D-QR-P$ 的平面角为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，则 ()

A. $\gamma <\alpha <\beta$　　　　　B. $\alpha <\gamma <\beta$　　　　　C. $\alpha <\beta <\gamma$　　　　　D. $\beta <\gamma <\alpha$

🔍【思路分析】

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1. 确定顶点投影：设正四面体顶点 $D$ 在底面 $ABC$ 上的投影为 $O$。由正四面体性质知，$O$ 是 $△ABC$ 的中心（重心、垂心）。
2. 建立二面角与距离的关系：设 $D$ 到底面 $ABC$ 的距离（高）为 $h$。对于底面上的任意一条直线 $L$，顶点 $D$ 与该直线构成的二面角的正切值 $\tan \theta =\frac{h}{d}$，其中 $d$ 是点 $O$ 到直线 $L$ 的距离。
3. 转化问题：因为 $h$ 是定值，所以二面角的大小与 $d$ 成反比。即：距离 $d$ 越小，二面角 $\theta$ 越大。

• $\alpha$ 对应 $O$ 到 $PR$ 的距离 $d_1$；
• $\beta$ 对应 $O$ 到 $PQ$ 的距离 $d_2$；
• $\gamma$ 对应 $O$ 到 $QR$ 的距离 $d_3$。

4. 在底面内比较距离：在等边 $△ABC$ 中，根据 $P,Q,R$ 的比例关系确定三条线段 $PR,PQ,QR$ 的位置，并比较中心 $O$ 到这三条直线的距离大小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设正四面体棱长为 $6$。在底面等边 $△ABC$ 中：

• $P$ 为 $AB$ 中点，则 $AP=3,PB=3$；
• $\frac{BQ}{QC}=2⟹BQ=4,QC=2$；
• $\frac{CR}{RA}=2⟹CR=4,RA=2$。

设底面中心为 $O$。我们比较 $O$ 到三边 $PR,PQ,QR$ 的距离：

1. 分析 $PQ$：$P(3,0),Q$ 在 $BC$ 上偏向 $C$ 点。$PQ$ 靠近中心 $O$。
2. 分析 $QR$：$Q(4\text{ on }BC),R(4\text{ on }CA)$。$QR$ 是由 $B,C$ 段比例截得，相对均匀。
3. 分析 $PR$：$P$ 是中点，$R$ 靠近 $A$ 点。$PR$ 远离中心 $O$。

根据解析几何或精确作图可知： 点 $O$ 到直线 $PR$ 的距离 $d_1$ 最大； 点 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离 $d_2$ 最小； 点 $O$ 到直线 $QR$ 的距离 $d_3$ 介于中间。 即 $d_2<d_3<d_1$。

根据 $\tan \theta =\frac{h}{d}$，由于 $h>0$ 且 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$： 距离越小，角度越大。 故 $\beta >\gamma >\alpha$，即 $\alpha <\gamma <\beta$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 模型简化：将空间二面角问题转化为平面几何中的“点到直线距离”问题，是解决此类选择题的捷径。
• 正四面体性质：顶点在底面的投影即底面中心，且顶点到底面各边的二面角相等（若边长相等且点到边距离相等）。
• 本题不建议建立复杂的空间坐标系计算法向量夹角，因为计算量巨大且容易出错。利用投影法结合平面直观图观察距离远近，既快又准。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $P,Q,R$ 恰好都是各边的中点，则 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的大小关系如何？

• 此时 $PR,PQ,QR$ 是底面三角形的中位线，中心 $O$ 到这三条直线的距离相等，故 $\alpha =\beta =\gamma$。

2. 知识关联：本题体现了“线线、线面、面面”角之间的内在转化，是立体几何中的核心思维。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 1958-广东-04 解-正四面体对棱垂直
• 1998-上海文-05 填-正四面体的体积
• 1998-上海理-05 填-正四面体的体积