2017-浙江卷-11 填-正多边形

本题导读

本题考查正多边形的面积计算，以及等边三角形的性质。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 $\pi$，理论上能把 $\pi$ 的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 $\pi$ 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 $S_6$，$S_6=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解“单位圆内接正六边形”：单位圆的半径 $R=1$。内接正六边形的中心与圆心重合，顶点均在圆周上。
2. 几何分割：正六边形可以从中心向六个顶点连线，分割成 6 个全等的三角形。
3. 确定三角形形状：由于正六边形的中心角为 $360^{\circ }÷6=60^{\circ }$，且两条侧边均为圆的半径（长度为 1），因此这 6 个三角形均为边长为 1 的等边三角形。
4. 计算面积：先求出一个等边三角形的面积，再乘以 6。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为正六边形内接于单位圆， 所以该正六边形的中心到各顶点的距离等于圆的半径 $R=1$。 将正六边形分割成 6 个以圆心为顶点、半径为腰的等腰三角形， 其顶角为 $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$，故这些三角形均为边长为 1 的等边三角形。 单个等边三角形的面积为： $S_{△}=\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。 则正六边形的面积为： $S_6=6\times S_{△}=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。 故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数学文化背景：近年来高考常以《九章算术》、《算学启蒙》等古籍中的名题为背景。这类题目文字较多，但数学本质通常较为基础，重点在于从信息中提取几何模型。
• 正多边形面积通项：半径为 $R$ 的圆内接正 $n$ 边形的面积公式为 $S_n=\frac{n}{2}{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n}$。
• 计算正六边形相关问题时，“分割成 6 个等边三角形”是最简单、最高效的切入点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若要计算单位圆内接正十二边形的面积 $S_{12}$，其值是多少？

• $S_{12}=\frac{12}{2}\times 1^2\times \sin \frac{360^{\circ }}{12}=6\times \sin 30^{\circ }=3$。由此可见，$S_6<S_{12}<\pi$。

2. 知识关联：割圆术的思想本质是极限。随着边数 $n$ 无限增加，内接正 $n$ 边形的面积无限逼近圆的面积 $\pi R^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-江西-15 填-圆内接正多边形