2017-浙江卷-15 填-向量

本题导读

本题考查向量的模长运算，以及向量数量积及其夹角表示。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=1$，$|\mathbf{b}|=2$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|+|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 的最小值是$\underline{}$，最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入夹角变量：设向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$ ($\theta \in [0,\pi ]$)，则 $\cos \theta \in [-1,1]$。
2. 表示模长函数：

• $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2+2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta }=\sqrt{1+4+4\cos \theta }=\sqrt{5+4\cos \theta }$。
• $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta }=\sqrt{5-4\cos \theta }$。

3. 构造函数求值域：设 $y=\sqrt{5+4\cos \theta }+\sqrt{5-4\cos \theta }$。

• 求平方：$y^2=(5+4\cos \theta )+(5-4\cos \theta )+2\sqrt{(5+4\cos \theta )(5-4\cos \theta )}$。
• 简化得 $y^2=10+2\sqrt{25-16{\cos }^2\theta }$。

4. 确定最值：

• 当 ${\cos }^2\theta =1$ 时（即 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 共线），$y^2$ 最小。
• 当 ${\cos }^2\theta =0$ 时（即 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$），$y^2$ 最大。

✅【答案】

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$4$；$2\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$。 由向量模的公式： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{1^2+2^2+2\times 1\times 2\cos \theta }=\sqrt{5+4\cos \theta }$ $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{1^2+2^2-2\times 1\times 2\cos \theta }=\sqrt{5-4\cos \theta }$ 令 $y=\sqrt{5+4\cos \theta }+\sqrt{5-4\cos \theta }$，则 $y\ge 0$。 $y^2=(5+4\cos \theta )+(5-4\cos \theta )+2\sqrt{25-16{\cos }^2\theta }$ $y^2=10+2\sqrt{25-16{\cos }^2\theta }$

1. 求最小值： 当 ${\cos }^2\theta =1$ 时，$\sqrt{25-16{\cos }^2\theta }$ 取得最小值 $\sqrt{25-16}=3$。 此时 $y_{min}^2=10+2\times 3=16$，故 $y_{min}=4$。 （物理意义：此时 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 同向或反向，结果为 $|1+2|+|1-2|=3+1=4$ 或 $|1-2|+|1+2|=1+3=4$）。

2. 求最大值： 当 ${\cos }^2\theta =0$ 时，$\sqrt{25-16{\cos }^2\theta }$ 取得最大值 $\sqrt{25}=5$。 此时 $y_{max}^2=10+2\times 5=20$，故 $y_{max}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。 （物理意义：此时 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，即平行四边形为矩形，两条对角线相等）。

故答案为：$4$；$2\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平方技巧：处理含有两个根式和的函数 $f(x)=\sqrt{g(x)}+\sqrt{h(x)}$，平方是消除中间变量（本题中的 $\cos \theta$）的常用手段。
• 平行四边形恒等式：本题背景与平行四边形恒等式 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2+|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=2(|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2)$ 密切相关。本题实际上是在已知平方和为定值（$2(1+4)=10$）的情况下，求和的最值。
• 若已知 $x^2+y^2=C$，则根据均值不等式，$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy\le 2(x^2+y^2)$，当 $x=y$ 时取最大值；当 $x$ 或 $y$ 取得极值时（共线情况）通常取最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：如果要求 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|\cdot |\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 的范围？

• 由上述解析中的 $25-16{\cos }^2\theta$ 开根号可知，积的范围是 $[3,5]$。

2. 知识关联：本题考查了向量与三角函数的结合，是典型的中档填空题，考查了数形结合与代数运算的平衡。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角
• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转
• 1990-广东文-12 单-复数向量的旋转