2018-上海卷-04 填-反函数

本题导读

本题考查反函数的定义与性质，以及对数函数的运算。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）设常数 $a\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)={\log }_2(x+a)$.若 $f(x)$ 的反函数的图象经过点 $(3,1)$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用反函数性质：若函数 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $(m,n)$，则原函数 $f(x)$ 的图象必定经过点 $(n,m)$。

2. 坐标转化：已知反函数经过 $(3,1)$，可直接推得原函数 $f(x)$ 经过点 $(1,3)$。

3. 方程求解：将点 $(1,3)$ 代入 $f(x)={\log }_2(x+a)$，通过对数式与指数式的互化解出 $a$。

✅【答案】

点击查看答案

7

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 7

【解析过程】

因为 $f(x)$ 的反函数的图象经过点 $(3,1)$，

根据反函数的性质，原函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(1,3)$。

将 $x=1,f(x)=3$ 代入函数解析式 $f(x)={\log }_2(x+a)$：

${\log }_2(1+a)=3$

根据对数的定义，转化为指数式：

$1+a=2^3$

$1+a=8$

解得 $a=7$。

故答案为：7。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心对称性：反函数与原函数关于直线 $y=x$ 对称。点 $(a,b)\in f(x)⟺(b,a)\in f^{-1}(x)$。

2. 解题误区：有些同学可能会尝试先求出反函数的解析式 $f^{-1}(x)=2^x-a$，再代入 $(3,1)$。虽然结果一样，但利用点坐标互换的方法效率更高，且不易在代数变形中出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下反函数存在的两个必要前提：

• 一一对应：函数在其定义域内必须是单调的（严格单调增或严格单调减），才能存在反函数。

• 定义域与值域互换：原函数的值域即为反函数的定义域；原函数的定义域即为反函数的值域。

已完成第 4 题录入。是否继续？

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-15

• 2005-北京卷理-12 填-对数函数的运算性质

• 2005-天津卷理-09 单-反函数的定义与性质