2018-上海卷-12 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量/向量的数量积/坐标表示，以及解析几何/圆与方程/圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）已知实数 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 满足：$x_1^2+y_1^2=1$，$x_2^2+y_2^2=1$，$x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{1}{2}$，则 $\frac{|x_1+y_1-1|}{\sqrt{2}}+\frac{|x_2+y_2-1|}{\sqrt{2}}$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析几何背景：设点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则条件 $x_1^2+y_1^2=1$ 和 $x_2^2+y_2^2=1$ 表示点 $A,B$ 都在单位圆 $O:x^2+y^2=1$ 上。

2. 确定 $A,B$ 几何关系：条件 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{1}{2}$ 即向量数量积 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}$。因为 $|\overrightarrow{OA}|=1,|\overrightarrow{OB}|=1$，由数量积定义得 $\cos \angle AOB=\frac{1}{2}$，即 $\angle AOB=60^{\circ }$。故 $△OAB$ 为边长为 $1$ 的等边三角形。

3. 目标函数几何化：

观察式子，$\frac{|x_i+y_i-1|}{\sqrt{2}}$ 正好是点 $(x_i,y_i)$ 到直线 $l:x+y-1=0$ 的距离 $d_i$。问题所求即为距离之和 $d_1+d_2$ 的最大值。

4. 寻找最值位置：线段 $AB$ 的长度固定为 $1$。当线段 $AB\parallel l$ 且位于圆心相对于 $l$ 的另一侧时，距离之和达到最大。

✅【答案】

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$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：几何背景识别

设置 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $A,B$ 均在单位圆 $x^2+y^2=1$ 上。由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}$ 得 $\angle AOB=60^{\circ }$，线段 $AB=1$。设置 $d_1,d_2$ 分别为 $A,B$ 到直线 $l:x+y-1=0$ 的距离。目标式为 $d_1+d_2$。

第二步：利用中点转化

设线段 $AB$ 的中点为 $M$。根据距离公式的性质，当 $A,B$ 在直线 $l$ 同侧时，$d_1+d_2=2d_M$，其中 $d_M$ 为中点 $M$ 到直线 $l$ 的距离。

在单位圆中，弦 $AB=1$，则圆心 $O$ 到中点 $M$ 的距离为：

$OM=\sqrt{O{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

即中点 $M$ 的轨迹是以 $O$ 为圆心，半径 $R_M=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的圆。

第三步：计算最大值

直线 $l:x+y-1=0$ 到圆心 $O(0,0)$ 的距离为 $d_{Ol}=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

中点 $M$ 到直线 $l$ 的距离最大值为：

$d_{M\max }=d_{Ol}+R_M=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

此时 $d_1+d_2=2d_{M\max }=2\times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$。

结论：当 $AB\parallel l$ 且位于圆心另一侧时，等号成立。

答案：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

💡 【考点总结与回顾】

• 数形结合的尖端：将复杂的代数公式转化为“点到直线的距离”和“弦长固定”的几何模型，是解开本题的唯一捷径。

• 模型转化：利用 $d_1+d_2=2d_M$ 将动点的距离之和转化为一个动点（中点）的距离问题。

• 临界思维：在圆中，弦到直线的距离之和最大，通常发生在弦平行于直线且远离直线的极限位置。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

在笔记中可以记下这种“距离和”问题的通用模型：

1. 向量定长/定角：若 $\vec{a},\vec{b}$ 夹角固定且模固定，则线段 $AB$ 长度固定，其中点到圆心的距离也固定。

2. 距离和转中点：点 $A,B$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离之和，当 $A,B$ 在直线同侧时，等效于线段 $AB$ 中点到该直线距离的两倍。

3. 最大值锁定：利用中点轨迹（圆），结合圆心到直线的距离，可以快速锁定最大值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷理-25 解-由条件求圆的方程

• 2004-江苏卷-14 填-圆

• 2005-全国卷II理-13 填-点到直线的距离公式