2018-全国卷I文-08 单-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及三角函数的周期性与最值。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）已知函数 $f(x)=2{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+2$, 则 ()

A. $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 最大值为 $3$

B. $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 最大值为 $4$

C. $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$, 最大值为 $3$

D. $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$, 最大值为 $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用同角三角函数基本关系（或二倍角公式/降幂公式）将函数化简为单一三角函数形式。
2. 根据化简后的解析式求出其最小正周期及最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

利用降幂公式或三角函数基本关系式化简函数 $f(x)$： $f(x)=2{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+2=2{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+2=3{\cos }^{2}x+1$ 再利用二倍角公式降幂： $f(x)=3\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}+1=\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{5}{2}$

• 最小正周期：$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$；
• 最大值：当 $\cos 2x=1$ 时，$f(x{)}_{\max }=\frac{3}{2}\times 1+\frac{5}{2}=4$。 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数恒等变换、周期公式、最值求解。
2. 核心方法：降幂与化一法。
3. 避坑指南：切勿直接对含有平方项的三角函数求周期，应先化简为一次形式再求周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数化简与性质的经典基础题。
2. 结论推广: 形如 $y=a{\cos }^{2}x+b{\sin }^{2}x+c$ 的函数，通常利用降幂公式转化为 $y=A\cos (2x+\phi )+k$ 的形式来研究其周期与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-02(2)
• 1988-全国卷理-06 单-三角函数的周期
• 1993-旧高考理-02