2018-全国卷I文-09 单-圆柱侧面展开

本题导读

本题考查圆柱的侧面展开图，以及三视图的阅读与还原。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图所示.圆柱表面上的点 $M$ 在正视图上的对应点为 $A$，圆柱表面上的点 $N$ 在左视图上的对应点为 $B$，则在此圆柱侧面上，从 $M$ 到 $N$ 的路径中，最短路径的长度为()


A. $2\sqrt{17}$　　　　　　　B. $2\sqrt{5}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定空间位置：

• 正视图中的 $A$ 点通常对应圆柱最前端或最后端的投影。
• 左视图中的 $B$ 点对应圆柱最左端或最右端的投影。
• 根据三视图规律，正视图的“正中心”对应侧面的“最前/后”；左视图的“正中心”对应侧面的“最左/右”。
• 由图可知，$M,N$ 在圆柱侧面上，且在底面周长的四分之一处（即 $\frac{1}{4}\times 16=4$）。

2. 侧面展开：

• 将圆柱侧面沿母线剪开平铺成一个长为 16（底面周长）、宽为 2（高）的矩形。

3. 确定展开图中的点坐标：

• $M$ 点和 $N$ 点在水平方向上的距离是底面周长的 $1/4$，即 $d_x=4$。
• $M$ 点和 $N$ 点在竖直方向上的距离是圆柱的高，即 $d_y=2$。

4. 计算最短路径：利用勾股定理 $L=\sqrt{d_x^2+d_y^2}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 分析 $M,N$ 相对位置： 由三视图可知，点 $M$ 位于圆柱侧面的母线上，且从俯视图看位于正前方（或正后方）；点 $N$ 位于圆柱侧面的另一条母线上，且从俯视图看位于最左侧（或最右侧）。 因此，$M$ 到 $N$ 在底面圆周上的投影距离恰好是底面周长的四分之一： $s=\frac{1}{4}\times 16=4$
2. 展开侧面： 将圆柱侧面展开，得到一个矩形。在此矩形中，从 $M$ 到 $N$ 的最短路径即为连接两点的线段。

• 矩形的横向距离（底面弧长投影）为 $4$；
• 矩形的纵向距离（高度差）为 $2$。

3. 勾股定理计算： 最短路径 $L=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三视图的“盲区”：很多学生会纠结点是在前面还是后面。其实无论是哪种情况，展开后的水平距离都是周长的 $1/4$。
2. 最短路径模型：

• 圆柱/圆锥表面：侧面展开。
• 长方体表面：分情况展开（对比不同路径）。

3. 常见数值对：在全国卷中，如果是圆柱最短路径，通常涉及 $\pi$ 或周长的分数倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个技巧：

• 圆柱绕一圈：横向距离 = 周长 $C$，纵向距离 = 高 $h$。
• 圆柱绕半圈：横向距离 = $\frac{1}{2}C$。
• 本题情况：从正视到左视，横向距离 = $\frac{1}{4}C$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1984-全国卷理-06
• 2000-广东卷理-09 单-圆柱的侧面展开图
• 2000-新课标理-09 单-几何体的表面积与体积