2018-全国卷I文-12 单-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的性质，以及不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x},& x\le 0,\\ 1,& x>0,\end{array}$ 则满足 $f(x+1)<f(2x)$ 的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,-1]$　　　　B. $(0,+\infty )$　　　　C. $(-1,0)$　　　　D. $(-\infty ,0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数 $f(x)$ 的取值特征：当 $x\le 0$ 时 $f(x)=2^{-x}\ge 1$ 且单调递减；当 $x>0$ 时 $f(x)=1$。
2. 要使 $f(x+1)<f(2x)$ 成立，由于函数最小值为 $1$，必须满足 $f(x+1)<1$ 且 $f(2x)>1$。
3. 分区段讨论 $x+1$ 与 $2x$ 的取值范围，解出不等式并取并集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)$ 的值域为 $[1,+\infty )$：

• 当 $t\le 0$ 时，$f(t)=2^{-t}\ge 1$；
• 当 $t>0$ 时，$f(t)=1$。 要使 $f(x+1)<f(2x)$ 成立，必须 $f(2x)>1$（因为 $f(t)$ 的最小值为 $1$，若 $f(2x)=1$ 则 $f(x+1)<1$ 不可能成立）。 由 $f(2x)>1$ 得 $2x<0⟹x<0$。 当 $x<0$ 时：
• 若 $x+1\le 0⟹x\le -1$，此时 $f(x+1)=2^{-(x+1)}$，$f(2x)=2^{-2x}$。 不等式变为 $2^{-x-1}<2^{-2x}⟹-x-1<-2x⟹x<1$。 与 $x\le -1$ 求交集得 $x\le -1$。
• 若 $x+1>0⟹-1<x<0$，此时 $f(x+1)=1$，$f(2x)=2^{-2x}$。 因为 $-1<x<0⟹2x<0⟹2^{-2x}>1$，故 $1<2^{-2x}$ 恒成立。 因此 $-1<x<0$ 也满足条件。 综上所述，$x$ 的取值范围为 $(-\infty ,0)$。 故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数值域分析、不等式恒成立。
2. 核心方法：分类讨论与数形结合。
3. 避坑指南：注意自变量代入分段函数时各区间的交集与并集运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质综合选择题压轴题。
2. 结论推广: 分段函数不等式求解的核心在于根据分界点划分区间，逐段转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-山东卷理-03 单-对数不等式的解法
• 1977-福建卷-02(1)
• 1990-上海卷-25 解-含参不等式的求解