2018-全国卷I文-14 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-2y-2\le 0,\\ x-y+1\ge 0,\\ y\ge 0,\end{array}$ 则 $z=3x+2y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 画出线性约束条件对应的平面区域（可行域）。

2. 求出可行域的各顶点坐标。

3. 将顶点坐标代入目标函数 $z=3x+2y$ 比较得出最大值。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

联立边界方程求出可行域的顶点：

• 直线 $y=0$ 与 $x-2y-2=0$ 交于点 $(2,0)$；

• 直线 $y=0$ 与 $x-y+1=0$ 交于点 $(-1,0)$；

• 联立 $\{\begin{array}{l}x-2y-2=0,\\ x-y+1=0,\end{array}$ 两式相减得 $y=-3$，代入得 $x=-4$，即交点为 $(-4,-3)$。

将各顶点坐标代入目标函数 $z=3x+2y$：

• 在 $(2,0)$ 处：$z=3(2)+2(0)=6$；

• 在 $(-1,0)$ 处：$z=3(-1)+2(0)=-3$；

• 在 $(-4,-3)$ 处：$z=3(-4)+2(-3)=-12-6=-18$。

经比较，最大值为 $6$。

答案：$6$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划、目标函数最值。

2. 核心方法：角点检验法。

3. 避坑指南：准确画出可行域并求出所有交点，防止遗漏顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常考题。

2. 结论推广: 线性目标函数的最值在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-16

• 2004-江苏卷-19 解-简单的线性规划问题

• 2005-辽宁卷-20 解-相互独立事件的概率