2018-全国卷I理-20 解-独立重复试验

本题导读

本题考查独立重复试验与二项分布。核心在于导数法、建模分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0<p<1)$，且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1) 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$，求 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$；

(2) 现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1) 中确定的 $p_0$ 作为 $p$ 的值.已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用.

(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$，求 $EX$；

(ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求最值点）：

• 根据 $n$ 次独立重复试验中发生 $k$ 次的概率公式：$f(p)=C_{20}^2{p}^2(1-p{)}^{18}$。
• 求导 $f^{\prime }(p)$，注意复合函数求导法则。
• 令 $f^{\prime }(p)=0$ 找到极值点，并验证单调性，确定最大值点。

2. 第二问 (i)（计算期望）：

• 检验费用是固定的：$20\times 2=40$ 元。
• 赔偿费用取决于余下 180 件中的不合格品数 $Y$。
• $Y$ 服从二项分布 $B(180,p_0)$，其期望 $EY=n{p}_0$。
• 建立关系式 $X=40+25Y$，利用 $EX=40+25EY$ 求解。

3. 第二问 (ii)（比较决策）：

• 计算全检的总费用：$200\times 2=400$ 元（此时无赔偿费）。
• 比较 $EX$ 与 400 的大小，期望值小的方案更优。

✅【答案】

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(1) $p_0=0.1$

(2)(i) $EX=490$（元）

(2)(ii) 应该对这箱余下的所有产品作检验

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由题意得，20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为： $f(p)=C_{20}^2{p}^2(1-p{)}^{18}$ 对 $f(p)$ 求导： $f^{\prime }(p)=C_{20}^2[2p(1-p{)}^{18}+p^2\cdot 18(1-p{)}^{17}\cdot (-1)]$ $f^{\prime }(p)=C_{20}^2\cdot 2p(1-p{)}^{17}[(1-p)-9p]$ $f^{\prime }(p)=2C_{20}^{2}p(1-p{)}^{17}(1-10p)$ 令 $f^{\prime }(p)=0$，由于 $0<p<1$，得 $p=0.1$。

• 当 $p\in (0,0.1)$ 时，$f^{\prime }(p)>0$，$f(p)$ 单调递增；
• 当 $p\in (0.1,1)$ 时，$f^{\prime }(p)<0$，$f(p)$ 单调递减。 所以 $f(p)$ 的最大值点为 $p_0=0.1$。

(2)解： 由(1)知 $p=0.1$。 (i) 设余下的 180 件产品中不合格品的件数为 $Y$，则 $Y\sim B(180,0.1)$。 不合格品的期望件数为 $EY=180\times 0.1=18$ 件。 一箱产品的总费用 $X$ 包括：已检验的 20 件的费用（$20\times 2=40$ 元）和余下 $Y$ 件不合格品的赔偿费（$25Y$ 元）。 即 $X=40+25Y$。 则 $EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25\times 18=40+450=490$（元）。

(ii) 若对余下的 180 件产品作检验，则这一箱产品全部被检验。 总检验费用为 $200\times 2=400$（元）。 此时由于所有不合格品都会被发现并更换，赔偿费用为 0。 因为 $490>400$，即不对余下产品检验的期望费用高于全检费用， 所以应该对这箱余下的所有产品作检验。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 极大似然思想：第一问其实是统计学中“极大似然估计”的背景，即观测到了某个现象（20件中有2件不合格），那么最可能的真实概率 $p$ 应该是使该现象发生概率最大的那个值。
2. 二项分布期望：熟记 $E(X)=np$。
3. 费用的构成：(i) 问中很多同学容易漏掉已经发生的 40 元检验费，虽然在做决策比较时它不影响差值，但求 $EX$ 时必须包含在内。
4. 决策逻辑：在风险决策中，期望值代表了长期平均成本，是工业质量控制中最常用的决策指标。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累：

• 概率最大项：对于 $B(n,p)$，概率最大的项 $k$ 通常出现在 $(n+1)p$ 附近。本题中 $n=20,p=0.1$，则 $(20+1)\times 0.1=2.1$，故 $k=2$ 时概率最大，这与第一问的结果完全吻合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV理-19 解-离散型随机变量的分布列
• 2006-江西卷理-18 解-离散型随机变量的数学期望
• 2006-湖南卷理-17 解-互斥事件与对立事件的概率