2018-全国卷II文-10 单-三角函数单调性

本题导读

本题考查三角函数的单调性，以及辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[0,a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是 ()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　D. $\pi$

🔍【思路分析】

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1. 利用辅助角公式将 $f(x)$ 化为 $f(x)=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。
2. 求出该余弦型函数的单调递减区间，结合给定区间求出 $a$ 的最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数化简为： $f(x)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 令 $2k\pi \le x+\frac{\pi }{4}\le \pi +2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)， 解得单调递减区间为： $-\frac{\pi }{4}+2k\pi \le x\le \frac{3\pi }{4}+2k\pi$ 当 $k=0$ 时，在 $[0,\frac{3\pi }{4}]$ 上单调递减。 因为 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上是减函数，所以 $[0,a]\subseteq \left[0,\frac{3\pi }{4}\right]$， 故 $a$ 的最大值为 $\frac{3\pi }{4}$。 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数单调区间、辅助角公式。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：注意子区间包含于单调区间时，边界值的取舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数性质基础题。
2. 结论推广: 形如 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的单调区间可通过整体令其处于余弦的单调区间内求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-01
• 1996-全国卷理-06
• 2000-广东卷理-17 解-两角和与差的正弦公式