2018-全国卷II文-12 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的周期性与对称性。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty ,+\infty )$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$. 若 $f(1)=2$, 则 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(50)=$ ()

A. $-50$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $50$

🔍【思路分析】

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1. 由对称性 $f(1-x)=f(1+x)$ 与奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 推导出函数的周期性。

2. 计算一个周期内各项的和，结合总项数求出最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(1-x)=f(1+x)$ 知函数关于直线 $x=1$ 对称。

将 $x$ 替换为 $1+x$，得 $f(-x)=f(2+x)$。

又因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$，故 $-f(x)=f(2+x)⟹f(x+2)=-f(x)$。

从而 $f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$，即函数的周期为 $T=4$。

已知 $f(1)=2$：

• $f(2)=f(0+2)=-f(0)=0$（奇函数 $f(0)=0$）；

• $f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2$；

• $f(4)=f(2+2)=-f(2)=0$。

一个周期内四项之和为 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0+(-2)+0=0$。

总共有 $50$ 项， $50=4\times 12+2$，即包含 $12$ 个完整周期和一个不完整周期的前两项。

故所求和为：

$12\times 0+f(1)+f(2)=2+0=2$

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的对称性、周期性。

2. 核心方法：周期推导与分组求和。

3. 避坑指南：由对称性与奇偶性推导周期时，符号变换要严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质综合压轴选择题。

2. 结论推广: 若函数图象既关于 $x=a$ 对称，又关于 $x=b$ 对称，则函数必为周期函数，周期 $T=2|a-b|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11

• 1996-全国卷理-15

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质