2018-全国卷II文-14 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y-5\ge 0,\\ x-2y+3\ge 0,\\ x-5\le 0,\end{array}$ 则 $z=x+y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域。
2. 求出可行域的各顶点坐标。
3. 将顶点坐标代入目标函数 $z=x+y$ 中比较得到最大值。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

联立边界方程求出可行域的顶点：

• 直线 $x+2y-5=0$ 与 $x-2y+3=0$ 联立，相加得 $2x-2=0⟹x=1,y=2$，即交点为 $(1,2)$；
• 直线 $x+2y-5=0$ 与 $x-5=0$ 联立，代入得 $5+2y-5=0⟹y=0$，即交点为 $(5,0)$；
• 直线 $x-2y+3=0$ 与 $x-5=0$ 联立，代入得 $5-2y+3=0⟹2y=8⟹y=4$，即交点为 $(5,4)$。 将各顶点坐标代入目标函数 $z=x+y$：
• 在 $(1,2)$ 处：$z=1+2=3$；
• 在 $(5,0)$ 处：$z=5+0=5$；
• 在 $(5,4)$ 处：$z=5+4=9$。 经比较，最大值为 $9$。 答案：$9$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域、目标函数最值。
2. 核心方法：角点检验法。
3. 避坑指南：准确作图或联立交点，防止因顶点计算错误导致结果偏差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常考填空题。
2. 结论推广: 目标函数 $z=Ax+By$ 的最值一定在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷理-6
• 天津卷文-16 解-线性规划
• 2004-全国卷II理-14 填-简单线性规划