2018-全国卷II文-19 解-线面垂直

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定。核心在于综合几何法、等体积转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=BC=2\sqrt{2}$, $PA=PB=PC=AC=4$, $O$ 为 $AC$ 的中点.

(1) 证明：$PO\perp$ 平面 $ABC$;

(2) 若点 $M$ 在棱 $BC$ 上，且 $MC=2MB$, 求点 $C$ 到平面 $POM$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. 在 $△PAC$ 与 $△ABC$ 中利用勾股定理逆定理或三角形全等证明 $PO\perp AC$ 且 $PO\perp OB$，再由线面垂直判定定理证得 $PO\perp$ 平面 $ABC$.

2. 利用等体积法（$V_{C-POM}=V_{M-POC}$）求解点 $C$ 到平面 $POM$ 的距离。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：在 $△PAC$ 中，$PA=PC=4,AC=4$，

因为 $O$ 为 $AC$ 的中点，所以 $PO\perp AC$, 且 $PO=\sqrt{P{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。

在 $△ABC$ 中，$AB=BC=2\sqrt{2},AC=4$，

满足 $A{B}^2+B{C}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2=8+8=16=A{C}^2$，

所以 $△ABC$ 是以 $B$ 为直角顶点的直角三角形，且 $\angle ABC=90^{\circ }$。

因为 $O$ 为斜边 $AC$ 的中点，所以 $OB=\frac{1}{2}AC=2$, 且 $OA=OC=2$。

在 $△POB$ 中，$PO=2\sqrt{3},OB=2$，

又因为 $PB=4$，满足 $P{O}^2+O{B}^2=(2\sqrt{3}{)}^2+2^2=12+4=16=P{B}^2$，

所以 $PO\perp OB$.

因为 $AC\cap OB=O$，且 $AC,OB\subset$ 平面 $ABC$，

所以 $PO\perp$ 平面 $ABC$.

(2) 取 $O$ 为原点，令 $AC$ 在 $x$ 轴上，建立空间直角坐标系，则

$A=(-2,0,0)$，$C=(2,0,0)$，$B=(0,2,0)$，$P=(0,0,2\sqrt{3})$。

由 $MC=2MB$ 且 $BC=2\sqrt{2}$，得 $MB=\frac{1}{3}BC$，故

$M=\frac{2}{3}B+\frac{1}{3}C=\left(\frac{2}{3},\frac{4}{3},0\right)$。

平面 $POM$ 过原点，且其在底面内的方向为 $OM$，故其方程为 $2x-y=0$。

于是点 $C=(2,0,0)$ 到平面 $POM$ 的距离为

$d=\frac{|2\times 2-0|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

所以点 $C$ 到平面 $POM$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直判定、等体积法求点到平面距离。

2. 核心方法：等体积转化法（把求点到平面距离转化为求易求的高）。

3. 避坑指南：计算三棱锥体积时，选择底面积好求且高易得的平面作为底面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题常考压轴题。

2. 结论推广: 等体积法 $V_{A-BCD}=V_{B-ACD}$ 是解决点到平面距离的高效方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-20 解-空间线面垂直的判定与性质

• 2006-天津卷理-13 填-点到平面的距离

• 2011-上海卷理-21