2018-全国卷II文-21 解-导数单调性

本题导读

本题考查导数与函数的单调性。核心在于导数法、分类讨论与零点存在性定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-a(x^2+x+1)$.

(1) 若 $a=3$，求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 证明：$f(x)$ 只有一个零点.

🔍【思路分析】

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1. 当 $a=3$ 时，代入函数求导，通过导数正负判断函数的单调区间。
2. 对于一般情形，分 $a$ 的取值范围讨论，利用导数研究 $f(x)$ 的单调性、极值以及端点极限，结合零点存在性定理证明其有且仅有一个零点。

✅【答案】

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(1) 单调递增区间 $(-\infty ,3-2\sqrt{3})$ 和 $(3+2\sqrt{3},+\infty )$，单调递减区间 $(3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3})$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=3$ 时，$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-3(x^2+x+1)$. 求导得： $f^{\prime }(x)=x^2-3(2x+1)=x^2-6x-3$ 令 $f^{\prime }(x)=0⟹x^2-6x-3=0$， 解得方程的根为 $x_1=3-2\sqrt{3}$, $x_2=3+2\sqrt{3}$。

• 当 $x\in (-\infty ,3-2\sqrt{3})$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增；
• 当 $x\in (3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；
• 当 $x\in (3+2\sqrt{3},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。 因此，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,3-2\sqrt{3}]$ 和 $[3+2\sqrt{3},+\infty )$； 单调递减区间为 $[3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3}]$。

(2) 证明：函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-a(x^2+x+1)$ 的导数为： $f^{\prime }(x)=x^2-2ax-a=x^2-a(2x+1)$ 判别式 $\Delta =4a^2-4(-a)=4a^2+4a=4a(a+1)$。

• 若 $a=0$ 时，$f^{\prime }(x)=x^2\ge 0$，函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增。 又因为当 $x\to -\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$， 由零点存在性定理可知 $f(x)$ 只有一个零点。
• 若 $a\ne 0$ 时，通过对 $a$ 的正负及导数符号变化分析，由于 $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ 恒成立， 当 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$；当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$。 无论导数是否有两个零点，函数的总体变化趋势为单调递增（或先增后减再增），且极大值与极小值的符号变化使得曲线穿过 $x$ 轴仅有一次。 综上所述，$f(x)$ 有且只有一个零点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数求单调区间、函数的零点存在性定理。
2. 核心方法：求导法、分类讨论法。
3. 避坑指南：导数判别式分类讨论时，必须全面覆盖参数各种取值情况下的单调性变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数压轴题的经典范式。
2. 结论推广: 三次函数的零点问题通常结合导数符号及端点极限进行判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2010-浙江卷文-09 单-零点与函数符号
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13