2018-全国卷II理-02 单-集合表示

本题导读

本题考查集合的元素形式，以及圆的标准方程及其内部区域。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）已知集合 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 3,x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$，则 $A$ 中元素的个数为()

A. 9　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解集合含义：集合 $A$ 的元素是坐标点 $(x,y)$，这些点必须落在圆 $x^2+y^2=3$ 的内部或圆周上，且横纵坐标必须是整数。
2. 确定范围：因为 $x^2+y^2\le 3$ 且 $y^2\ge 0$，所以 $x^2\le 3$。由于 $x$ 为整数，$x$ 只能取 $-1,0,1$。
3. 分类讨论：针对 $x$ 的每一个可能值，寻找满足条件的整数 $y$。
4. 计数：统计所有满足条件的有序数对 $(x,y)$ 的总数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 已知 $x,y\in \mathbb{Z}$，由 $x^2+y^2\le 3$ 可知：

• 若 $x=-1$，则 $(-1{)}^2+y^2\le 3⟹1+y^2\le 3⟹y^2\le 2$。 此时 $y$ 可取 $-1,0,1$，共 3 个点：$(-1,-1),(-1,0),(-1,1)$。
• 若 $x=0$，则 $0^2+y^2\le 3⟹y^2\le 3$。 此时 $y$ 可取 $-1,0,1$，共 3 个点：$(0,-1),(0,0),(0,1)$。
• 若 $x=1$，则 $1^2+y^2\le 3⟹1+y^2\le 3⟹y^2\le 2$。 此时 $y$ 可取 $-1,0,1$，共 3 个点：$(1,-1),(1,0),(1,1)$。

综上所述，集合 $A$ 中共有 $3+3+3=9$ 个元素。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 点集的识别：注意集合中的元素是 $(x,y)$ 而不是 $x$ 或 $y$ 本身。很多同学容易只数出 $x$ 的个数导致错误。
2. 边界值判断：由于 $x,y$ 是整数，所以 $x^2\le 3$ 等价于 $|x|\le \lfloor \sqrt{3}\rfloor =1$。
3. 对称性：在格点计数中，圆具有高度的对称性，通常计算第一象限和轴上的点，再利用对称性翻倍即可提速。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 整点 (Integer Points)：在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点或格点。
• 高斯圆问题：计算圆 $x^2+y^2\le r^2$ 内整点个数是一个经典的数学问题。对于较小的 $r$，直接枚举是最稳妥的办法；对于较大的 $r$，个数约等于圆的面积 $\pi r^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-17
• 1997-全国卷理-25 解-由条件求圆的方程
• 2000-广东卷理-10 单-直线方程与斜率