2018-全国卷II理-03 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性与导数。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定奇偶性：计算 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。若 $f(-x)=-f(x)$，则图象关于原点对称（奇函数）；若 $f(-x)=f(x)$，则关于 $y$ 轴对称（偶函数）。
2. 取特殊值判断正负：观察 $x>0$ 时函数的符号。例如取 $x=1$，判定其在第一象限还是第四象限。
3. 分析单调性/极值：对函数求导，观察 $f^{\prime }(x)$ 在 $x>0$ 区域的零点。如果存在导数为 0 的点，说明图象有波峰或波谷。
4. 极限趋势：观察 $x\to 0^{+}$ 和 $x\to +\infty$ 时函数值的走向。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 奇偶性排除： $f(-x)=\frac{e^{-x}-e^x}{(-x{)}^2}=\frac{-(e^x-e^{-x})}{x^2}=-f(x)$。 所以 $f(x)$ 是奇函数，图象关于原点对称。排除 A（A 选项通常为偶函数图象）。
2. 符号排除： 当 $x>0$ 时，$e^x>e^{-x}$，且 $x^2>0$，所以 $f(x)>0$。 即图象在第一象限应位于 $x$ 轴上方。排除 D（D 选项在 $x>0$ 时图象在下方）。
3. 单调性精析： 对 $f(x)$ 求导： $f^{\prime }(x)=\frac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})\cdot 2x}{x^4}=\frac{x(e^x+e^{-x})-2(e^x-e^{-x})}{x^3}$ 当 $x\to +\infty$ 时，分子的增长受 $e^x$ 支配，总体大于 0。 但在 $x$ 较小时（如 $x=1$）： $f^{\prime }(1)=(e+e^{-1})-2(e-e^{-1})=3e^{-1}-e\approx \frac{3}{2.7}-2.7<0$。 这说明函数在 $x>0$ 的某个区间内是先减后增的（或者存在极值点）。 观察选项 B 和 C：C 选项在 $x>0$ 时一直减小或增长，而 B 选项体现了函数先减后增（或趋于无穷）的波动特征。 (注：实际上 $x\to 0$ 时，$f(x)\approx \frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}\to +\infty$，符合 B 选项趋势。)

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 口诀记忆：图象识别有三宝，奇偶、数值、导数跑。
2. 分母的影响：本题分母是 $x^2$，由于 $x^2$ 是偶函数，分子 $e^x-e^{-x}$ 是奇函数，“奇/偶 = 奇”，这是快速判定奇偶性的技巧。
3. 极限思维：当 $x\to 0^{+}$ 时，分子 $e^x-e^{-x}\to 0$，分母 $x^2\to 0$。根据洛必达法则或泰勒展开，$\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}\sim \frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$。所以函数在接近 $y$ 轴时会向上爆炸，这直接锁定了 B 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下母函数：

• $g(x)=e^x-e^{-x}$ (奇函数，类似 $x^3$)
• $h(x)=e^x+e^{-x}$ (偶函数，悬链线，类似 $x^2+2$)
• 本题 $f(x)=\frac{g(x)}{x^2}$ 综合了两者的特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2008-北京卷理-13
• 2011-上海卷理-16