2018-全国卷III文-04 单-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及同角三角函数基本关系。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）若 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, 则 $\cos 2\alpha =$ ()

A. $\frac{8}{9}$　　　　　　B. $\frac{7}{9}$　　　　　　C. $-\frac{7}{9}$　　　　　　D. $-\frac{8}{9}$

🔍【思路分析】

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1. 选择含有正弦的二倍角余弦公式：$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$。
2. 将 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ 代入公式计算结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式可得： $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-2\times \frac{1}{9}=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$ 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦的二倍角公式。
2. 核心方法：直接代入公式法。
3. 避坑指南：熟练掌握 $\cos 2\alpha$ 的三种形式，根据已知条件灵活选择。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数基础题。
2. 结论推广: $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-04
• 1977-福建卷-02(2)