2018-全国卷III文-06 单-三角化简

本题导读

本题考查三角函数的化简，以及三角函数的最小正周期。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）函数 $f(x)=\frac{\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$ 的最小正周期为 ()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

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1. 利用同角三角函数平方关系 $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ 或弦切互化化简函数。
2. 将正切转化为正弦和余弦，应用二倍角公式化为最简正弦型函数。
3. 求出其最小正周期。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$， 所以： $f(x)=\frac{\tan x}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{{\cos }^{2}x}}=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 该函数的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数化简、二倍角公式、最小正周期公式。
2. 核心方法：弦切互化与降幂/倍角化简法。
3. 避坑指南：切勿直接对原分式求周期，必须先利用恒等变形化为单一三角函数的最简形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数恒等变换与性质常规题。
2. 结论推广: 形如 $y=\sin x\cos x$ 的函数通常通过二倍角公式化为 $y=\frac{1}{2}\sin 2x$ 来研究周期与最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-上海卷-17 单-正切函数的最小正周期
• 2002-苏豫粤卷-01 单-三角函数的最小正周期
• 2004-江苏卷-02 单-三角函数的最小正周期