2018-全国卷III文-08 单-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $A,B$ 两点，点 $P$ 在圆 $(x-2{)}^2+y^2=2$ 上，则 $△ABP$ 面积的取值范围是 ()

A. $[2,6]$　　　　B. $[4,8]$　　　　C. $[\sqrt{2},3\sqrt{2}]$　　　　D. $[2\sqrt{2},3\sqrt{2}]$

🔍【思路分析】

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1. 求出直线与坐标轴的交点 $A,B$ 的坐标，进而求出底边长 $|AB|$。
2. 利用点到直线距离公式求出圆心到直线 $x+y+2=0$ 的距离，结合圆的半径求出点 $P$ 到该直线距离的最大值与最小值。
3. 利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h$ 计算面积的取值范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

在直线方程 $x+y+2=0$ 中：

• 令 $y=0⟹x=-2$，即点 $A(-2,0)$；
• 令 $x=0⟹y=-2$，即点 $B(0,-2)$。 底边长 $|AB]=\sqrt{(-2-0{)}^2+(0-(-2){)}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。 圆 $(x-2{)}^2+y^2=2$ 的圆心坐标为 $C(2,0)$，半径 $r=\sqrt{2}$。 圆心 $C(2,0)$ 到直线 $x+y+2=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|2+0+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ 点 $P$ 到直线距离的最大值为 $h_{\max }=d+r=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$； 点 $P$ 到直线距离的最小值为 $h_{\min }=d-r=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。 因此，$△ABP$ 面积的取值范围为：
• 最小面积：$S_{\min }=\frac{1}{2}\times |AB|\times h_{\min }=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$；
• 最大面积：$S_{\max }=\frac{1}{2}\times |AB|\times h_{\max }=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}=6$。 即面积的取值范围为 $[2,6]$。 故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线距离公式、圆的几何性质、三角形面积最值。
2. 核心方法：定底动高法（底边固定时，高最大/最小则面积最大/最小）。
3. 避坑指南：计算圆心到直线距离时，注意公式中分子绝对值与分母根号的准确代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何中圆与直线综合常考题。
2. 结论推广: 圆上一点到定直线距离的最值为“圆心到直线距离加减半径”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离
• 1991-全国卷理-14
• 1994-全国卷理-08