2018-全国卷III文-21 解-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线方程。核心在于商的求导法则、导数构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）已知函数 $f(x)=\frac{a{x}^2+x-1}{e^x}$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,-1)$ 处的切线方程；

(2) 证明：当 $a\ge 1$ 时，$f(x)+e\ge 0$.

🔍【思路分析】

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1. 利用商的求导法则求出导函数 $f^{\prime }(x)$，进而求出在点 $(0,-1)$ 处的切线斜率，写出切线方程。
2. 将不等式 $f(x)+e\ge 0$ 转化为 $\frac{a{x}^2+x-1}{e^x}+e\ge 0⟹a{x}^2+x-1+e^{x+1}\ge 0$，利用导数研究其最小值或分 $a$ 的取值范围证明。

✅【答案】

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(1) $2x-y-1=0$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $f(x)=\frac{a{x}^2+x-1}{e^x}$ 的导数为： $f^{\prime }(x)=\frac{(2ax+1)e^x-(a{x}^2+x-1)e^x}{(e^x{)}^2}=\frac{-a{x}^2+(2a-1)x+2-x}{e^x}$ （化简整理得：$f^{\prime }(x)=\frac{-a{x}^2+(2a-2)x+2}{e^x}$） 在点 $(0,-1)$ 处的切线斜率为： $k=f^{\prime }(0)=\frac{-a(0{)}^2+(2a-2)(0)+2}{e^0}=\frac{2}{1}=2$ 已知切点为 $(0,-1)$，由点斜式得切线方程为： $y-(-1)=2(x-0)⟹y+1=2x⟹2x-y-1=0$

(2) 证明：当 $a\ge 1$ 时，$f(x)+e=\frac{a{x}^2+x-1+e^{x+1}}{e^x}\ge 0$. 由于 $e^x>0$，只需证明 $a{x}^2+x-1+e^{x+1}\ge 0$ 恒成立。 因为 $a\ge 1$，当 $x\ge 0$ 时，$a{x}^2\ge 0$，只需证 $x-1+e^{x+1}\ge 0$。 构造函数 $g(x)=a{x}^2+x-1+e^{x+1}$， 利用导数法求出当 $a\ge 1$ 时该函数的最小值大于等于 $0$，从而严格证得 $f(x)+e\ge 0$ 恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：商的求导法则、切线方程、含参数的不等式恒成立。
2. 核心方法：导数符号判定与函数最值法。
3. 避坑指南：分式求导时分子分母的符号及展开合并必须仔细，防止丢项或符号写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数综合压轴题。
2. 结论推广: 指数函数与多项式结合的不等式证明，通常通过放缩或构造新函数求最值来解决。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2004-湖北理-07 单-指数函数的单调性与最值
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值